Resolver {l}{(x-y)(x+y)=x^2-(y-1)^2}{(x+y)(x+2)-xy=x^2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x - y ) ( x + y ) = x ^ { 2 } - ( y - 1 ) ^ { 2 } } \\ { ( x + y ) ( x + 2 ) - x y = x ^ { 2 } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kasurako: \left(x-y\right)\left(x+y\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x^{2}-y^{2}=x^{2}-\left(y-1\right)^{2}$$

\left(y-1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-y^{2}=x^{2}-\left(y^{2}-2y+1\right)$$

y^{2}-2y+1 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$x^{2}-y^{2}=x^{2}-y^{2}+2y-1$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$x^{2}-y^{2}-x^{2}=-y^{2}+2y-1$$

0 lortzeko, konbinatu x^{2} eta -x^{2}.

$$-y^{2}=-y^{2}+2y-1$$

Gehitu y^{2} bi aldeetan.

$$-y^{2}+y^{2}=2y-1$$

0 lortzeko, konbinatu -y^{2} eta y^{2}.

$$0=2y-1$$

Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$2y-1=0$$

Gehitu 1 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$2y=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=\frac{1}{2}$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Txertatu aldagaien balio ezagunak ekuazioan.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+2\right)-x\times \frac{1}{2}=x^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea x+\frac{1}{2} eta x+2 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+1-x\times \frac{1}{2}=x^{2}$$

-\frac{1}{2} lortzeko, biderkatu -1 eta \frac{1}{2}.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+1-\frac{1}{2}x=x^{2}$$

2x lortzeko, konbinatu \frac{5}{2}x eta -\frac{1}{2}x.

$$x^{2}+2x+1=x^{2}$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$x^{2}+2x+1-x^{2}=0$$

0 lortzeko, konbinatu x^{2} eta -x^{2}.

$$2x+1=0$$

Kendu 1 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1}{2} y=\frac{1}{2}$$