Resolver {l}{x/6-y=-1}{3x-2y=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 6 } - y = - 1 } \\ { 3 x - 2 y = 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$\frac{1}{6}x-y=-1$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{6}x=y-1$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=6\left(y-1\right)$$

Egin 6 bider y-1.

$$x=6y-6$$

Ordeztu -6+6y balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-2y=6).

$$3\left(6y-6\right)-2y=6$$

Egin 3 bider -6+6y.

$$18y-18-2y=6$$

Gehitu 18y eta -2y.

$$16y-18=6$$

Gehitu 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$16y=24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 16 balioarekin.

$$y=\frac{3}{2}$$

Ordeztu \frac{3}{2} y balioarekin x=6y-6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=6\times \frac{3}{2}-6$$

Egin 6 bider \frac{3}{2}.

$$x=9-6$$

Gehitu -6 eta 9.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=\frac{3}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}&\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{3}{8}\\-\frac{9}{8}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{3}{8}\times 6\\-\frac{9}{8}\left(-1\right)+\frac{1}{16}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=\frac{3}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6$$

\frac{x}{6} eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu \frac{1}{6} balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times \frac{1}{6}x+3\left(-1\right)y=3\left(-1\right),\frac{1}{6}\times 3x+\frac{1}{6}\left(-2\right)y=\frac{1}{6}\times 6$$

Sinplifikatu.

$$\frac{1}{2}x-3y=-3,\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1$$

Egin \frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1 ken \frac{1}{2}x-3y=-3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x-3y+\frac{1}{3}y=-3-1$$

Gehitu \frac{x}{2} eta -\frac{x}{2}. Sinplifikatu egiten dira \frac{x}{2} eta -\frac{x}{2}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3y+\frac{1}{3}y=-3-1$$

Gehitu -3y eta \frac{y}{3}.

$$-\frac{8}{3}y=-3-1$$

Gehitu -3 eta -1.

$$-\frac{8}{3}y=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{8}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{3}{2}$$

Ordeztu \frac{3}{2} y balioarekin 3x-2y=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-2\times \frac{3}{2}=6$$

Egin -2 bider \frac{3}{2}.

$$3x-3=6$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=\frac{3}{2}$$