Resolver {l}{x/6-y/5=-4}{x/4-y/6=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 6 } - \frac { y } { 5 } = - 4 } \\ { \frac { x } { 4 } - \frac { y } { 6 } = - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=12$$

$$y=30$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 30 balioarekin (6,5 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$5x-6y=-120$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (4,6 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3x-2y=-24$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-6y=-120$$

Gehitu 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=6y-120$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-120\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -120+6y.

$$x=\frac{6}{5}y-24$$

Ordeztu \frac{6y}{5}-24 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-2y=-24).

$$3\left(\frac{6}{5}y-24\right)-2y=-24$$

Egin 3 bider \frac{6y}{5}-24.

$$\frac{18}{5}y-72-2y=-24$$

Gehitu \frac{18y}{5} eta -2y.

$$\frac{8}{5}y-72=-24$$

Gehitu 72 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{8}{5}y=48$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{8}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=30$$

Ordeztu 30 y balioarekin x=\frac{6}{5}y-24 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{6}{5}\times 30-24$$

Egin \frac{6}{5} bider 30.

$$x=36-24$$

Gehitu -24 eta 36.

$$x=12$$

Ebatzi da sistema.

$$x=12,y=30$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 30 balioarekin (6,5 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$5x-6y=-120$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (4,6 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3x-2y=-24$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-120\right)+\frac{3}{4}\left(-24\right)\\-\frac{3}{8}\left(-120\right)+\frac{5}{8}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\30\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=12,y=30$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 30 balioarekin (6,5 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$5x-6y=-120$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (4,6 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3x-2y=-24$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

5x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\left(-120\right),5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\left(-24\right)$$

Sinplifikatu.

$$15x-18y=-360,15x-10y=-120$$

Egin 15x-10y=-120 ken 15x-18y=-360 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$15x-15x-18y+10y=-360+120$$

Gehitu 15x eta -15x. Sinplifikatu egiten dira 15x eta -15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-18y+10y=-360+120$$

Gehitu -18y eta 10y.

$$-8y=-360+120$$

Gehitu -360 eta 120.

$$-8y=-240$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$y=30$$

Ordeztu 30 y balioarekin 3x-2y=-24 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-2\times 30=-24$$

Egin -2 bider 30.

$$3x-60=-24$$

Gehitu 60 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=36$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=12$$

Ebatzi da sistema.

$$x=12,y=30$$