Resolver {l}{x/4+y/3=7}{2/3x+y/2=14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 3 } = 7 } \\ { \frac { 2 } { 3 } x + \frac { y } { 2 } = 14 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=12$$

$$y=12$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7,\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7$$

Egin ken \frac{y}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{4}x=-\frac{1}{3}y+7$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=4\left(-\frac{1}{3}y+7\right)$$

Egin 4 bider -\frac{y}{3}+7.

$$x=-\frac{4}{3}y+28$$

Ordeztu -\frac{4y}{3}+28 balioa x balioarekin beste ekuazioan (\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14).

$$\frac{2}{3}\left(-\frac{4}{3}y+28\right)+\frac{1}{2}y=14$$

Egin \frac{2}{3} bider -\frac{4y}{3}+28.

$$-\frac{8}{9}y+\frac{56}{3}+\frac{1}{2}y=14$$

Gehitu -\frac{8y}{9} eta \frac{y}{2}.

$$-\frac{7}{18}y+\frac{56}{3}=14$$

Egin ken \frac{56}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{7}{18}y=-\frac{14}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{7}{18} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=12$$

Ordeztu 12 y balioarekin x=-\frac{4}{3}y+28 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{4}{3}\times 12+28$$

Egin -\frac{4}{3} bider 12.

$$x=-16+28$$

Gehitu 28 eta -16.

$$x=12$$

Ebatzi da sistema.

$$x=12,y=12$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7,\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}&\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{36}{7}&\frac{24}{7}\\\frac{48}{7}&-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{36}{7}\times 7+\frac{24}{7}\times 14\\\frac{48}{7}\times 7-\frac{18}{7}\times 14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=12,y=12$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7,\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14$$

\frac{x}{4} eta \frac{2x}{3} berdintzeko, biderkatu \frac{2}{3} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu \frac{1}{4} balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}x+\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}y=\frac{2}{3}\times 7,\frac{1}{4}\times \frac{2}{3}x+\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}y=\frac{1}{4}\times 14$$

Sinplifikatu.

$$\frac{1}{6}x+\frac{2}{9}y=\frac{14}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=\frac{7}{2}$$

Egin \frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=\frac{7}{2} ken \frac{1}{6}x+\frac{2}{9}y=\frac{14}{3} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x+\frac{2}{9}y-\frac{1}{8}y=\frac{14}{3}-\frac{7}{2}$$

Gehitu \frac{x}{6} eta -\frac{x}{6}. Sinplifikatu egiten dira \frac{x}{6} eta -\frac{x}{6}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\frac{2}{9}y-\frac{1}{8}y=\frac{14}{3}-\frac{7}{2}$$

Gehitu \frac{2y}{9} eta -\frac{y}{8}.

$$\frac{7}{72}y=\frac{14}{3}-\frac{7}{2}$$

Gehitu \frac{14}{3} eta -\frac{7}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$\frac{7}{72}y=\frac{7}{6}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{7}{72} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=12$$

Ordeztu 12 y balioarekin \frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}\times 12=14$$

Egin \frac{1}{2} bider 12.

$$\frac{2}{3}x+6=14$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{2}{3}x=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{2}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=12$$

Ebatzi da sistema.

$$x=12,y=12$$