Resolver {l}{x/2+y/6=11/2}{2x/5-frac{y}{3}=-frac{1}{5}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 6 } = 1 \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 2 x } { 5 } - \frac { y } { 3 } = - \frac { 1 } { 5 } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (2,6 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

2 lortzeko, biderkatu 1 eta 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

3 lortzeko, gehitu 2 eta 1.

$$3x+y=3\times 3$$

9 lortzeko, biderkatu 3 eta 3.

$$3x+y=9$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin (5,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\times 2x-5y=-3$$

6 lortzeko, biderkatu 3 eta 2.

$$6x-5y=-3$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+y=9$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-y+9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+9\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -y+9.

$$x=-\frac{1}{3}y+3$$

Ordeztu -\frac{y}{3}+3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x-5y=-3).

$$6\left(-\frac{1}{3}y+3\right)-5y=-3$$

Egin 6 bider -\frac{y}{3}+3.

$$-2y+18-5y=-3$$

Gehitu -2y eta -5y.

$$-7y+18=-3$$

Egin ken 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7y=-21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=-\frac{1}{3}y+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+3$$

Egin -\frac{1}{3} bider 3.

$$x=-1+3$$

Gehitu 3 eta -1.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (2,6 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

2 lortzeko, biderkatu 1 eta 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

3 lortzeko, gehitu 2 eta 1.

$$3x+y=3\times 3$$

9 lortzeko, biderkatu 3 eta 3.

$$3x+y=9$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin (5,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\times 2x-5y=-3$$

6 lortzeko, biderkatu 3 eta 2.

$$6x-5y=-3$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-6}&-\frac{1}{3\left(-5\right)-6}\\-\frac{6}{3\left(-5\right)-6}&\frac{3}{3\left(-5\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 9+\frac{1}{21}\left(-3\right)\\\frac{2}{7}\times 9-\frac{1}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (2,6 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

2 lortzeko, biderkatu 1 eta 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

3 lortzeko, gehitu 2 eta 1.

$$3x+y=3\times 3$$

9 lortzeko, biderkatu 3 eta 3.

$$3x+y=9$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin (5,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\times 2x-5y=-3$$

6 lortzeko, biderkatu 3 eta 2.

$$6x-5y=-3$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

3x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6\times 3x+6y=6\times 9,3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\left(-3\right)$$

Sinplifikatu.

$$18x+6y=54,18x-15y=-9$$

Egin 18x-15y=-9 ken 18x+6y=54 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$18x-18x+6y+15y=54+9$$

Gehitu 18x eta -18x. Sinplifikatu egiten dira 18x eta -18x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y+15y=54+9$$

Gehitu 6y eta 15y.

$$21y=54+9$$

Gehitu 54 eta 9.

$$21y=63$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 21 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin 6x-5y=-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x-5\times 3=-3$$

Egin -5 bider 3.

$$6x-15=-3$$

Gehitu 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=3$$