Resolver {l}{x^2/4+y^2/2=1}{x=my+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \\ { x = m y + 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}$$

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}$$

Ordezkapenaren eta formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin (4,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$x^{2}+2y^{2}=4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu my bi aldeetatik.

$$x-my=1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+\left(-m\right)y=1,2y^{2}+x^{2}=4$$

Ebatzi x+\left(-m\right)y=1 ekuazioko x. Horretarako, isolatu x berdin zeinuaren ezkerreko aldean.

$$x+\left(-m\right)y=1$$

Egin ken \left(-m\right)y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=my+1$$

Ordeztu my+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2y^{2}+x^{2}=4).

$$2y^{2}+\left(my+1\right)^{2}=4$$

Egin my+1 ber bi.

$$2y^{2}+m^{2}y^{2}+2my+1=4$$

Gehitu 2y^{2} eta m^{2}y^{2}.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my+1=4$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my-3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2+1m^{2} balioa a balioarekin, 1\times 1\times 2m balioa b balioarekin, eta -3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-2m±\sqrt{\left(2m\right)^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Egin 1\times 1\times 2m ber bi.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Egin -4 bider 2+1m^{2}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+\left(-4m^{2}-8\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Egin -8-4m^{2} bider -3.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+12m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Gehitu 4m^{2} eta 24+12m^{2}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{16m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Atera 24+16m^{2} balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Egin 2 bider 2+1m^{2}.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}$$

Orain, ebatzi y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -2m eta 2\sqrt{6+4m^{2}}.

$$y=\frac{2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

Zatitu -2m+2\sqrt{6+4m^{2}} balioa 4+2m^{2} balioarekin.

$$y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}$$

Orain, ebatzi y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{6+4m^{2}} ken -2m.

$$y=\frac{-2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

Zatitu -2m-2\sqrt{6+4m^{2}} balioa 4+2m^{2} balioarekin.

$$y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

Bi ebazpide ditu y balioak: \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} eta -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}. Ordeztu \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} balioa y balioarekin x=my+1 ekuazioan, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=m\times \frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}+1$$

Egin m bider \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}.

$$x=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m+1$$

Gehitu m\times \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} eta 1.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m$$

Orain, ordeztu -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} balioa x=my+1 ekuazioko y balioarekin eta ebatz ezazu, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=m\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)+1$$

Egin m bider -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}.

$$x=\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m+1$$

Gehitu m\left(-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}\right) eta 1.

$$x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m,y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}\text{ or }x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m,y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

Ebatzi: x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}\text{; }x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}\text{, }&m\neq -\sqrt{2}i\text{ and }m\neq \sqrt{2}i\\x=\frac{5}{2}=2.5\text{, }y=\frac{3}{2m}\text{, }&m=-\sqrt{2}i\text{ or }m=\sqrt{2}i\end{matrix}\right.$$