Resolver {l}{x+y+2/3-y=2}{x/2+2y/3=x-4/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y + 2 } { 3 } - y = 2 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { 2 y } { 3 } = x - \frac { 4 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=0$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 3.

$$x+y+2-3y=6$$

-2y lortzeko, konbinatu y eta -3y.

$$x-2y+2=6$$

Kendu 2 bi aldeetatik.

$$x-2y=6-2$$

4 lortzeko, 6 balioari kendu 2.

$$x-2y=4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (2,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

4 lortzeko, biderkatu 2 eta 2.

$$3x+4y=6x-8$$

Kendu 6x bi aldeetatik.

$$3x+4y-6x=-8$$

-3x lortzeko, konbinatu 3x eta -6x.

$$-3x+4y=-8$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-2y=4$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=2y+4$$

Ordeztu 4+2y balioa x balioarekin beste ekuazioan (-3x+4y=-8).

$$-3\left(2y+4\right)+4y=-8$$

Egin -3 bider 4+2y.

$$-6y-12+4y=-8$$

Gehitu -6y eta 4y.

$$-2y-12=-8$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2y=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=2y+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=2\left(-2\right)+4$$

Egin 2 bider -2.

$$x=-4+4$$

Gehitu 4 eta -4.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 3.

$$x+y+2-3y=6$$

-2y lortzeko, konbinatu y eta -3y.

$$x-2y+2=6$$

Kendu 2 bi aldeetatik.

$$x-2y=6-2$$

4 lortzeko, 6 balioari kendu 2.

$$x-2y=4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (2,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

4 lortzeko, biderkatu 2 eta 2.

$$3x+4y=6x-8$$

Kendu 6x bi aldeetatik.

$$3x+4y-6x=-8$$

-3x lortzeko, konbinatu 3x eta -6x.

$$-3x+4y=-8$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-\left(-8\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=0,y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 3.

$$x+y+2-3y=6$$

-2y lortzeko, konbinatu y eta -3y.

$$x-2y+2=6$$

Kendu 2 bi aldeetatik.

$$x-2y=6-2$$

4 lortzeko, 6 balioari kendu 2.

$$x-2y=4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (2,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

4 lortzeko, biderkatu 2 eta 2.

$$3x+4y=6x-8$$

Kendu 6x bi aldeetatik.

$$3x+4y-6x=-8$$

-3x lortzeko, konbinatu 3x eta -6x.

$$-3x+4y=-8$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

x eta -3x berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3x-3\left(-2\right)y=-3\times 4,-3x+4y=-8$$

Sinplifikatu.

$$-3x+6y=-12,-3x+4y=-8$$

Egin -3x+4y=-8 ken -3x+6y=-12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-3x+3x+6y-4y=-12+8$$

Gehitu -3x eta 3x. Sinplifikatu egiten dira -3x eta 3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y-4y=-12+8$$

Gehitu 6y eta -4y.

$$2y=-12+8$$

Gehitu -12 eta 8.

$$2y=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin -3x+4y=-8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3x+4\left(-2\right)=-8$$

Egin 4 bider -2.

$$-3x-8=-8$$

Gehitu 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=-2$$