Resolver {l}{x+3y/3=y+1/2+3x/4}{3x+5y/5=frac{x+4}{2}-frac{x+y+9}{10}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 3 y } { 3 } = \frac { y + 1 } { 2 } + \frac { 3 x } { 4 } } \\ { \frac { 3 x + 5 y } { 5 } = \frac { x + 4 } { 2 } - \frac { x + y + 9 } { 10 } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=0$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (3,2,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta x+3y biderkatzeko.

$$4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

Erabili banaketa-propietatea 6 eta y+1 biderkatzeko.

$$4x+12y=6y+6+3\times 3x$$

9 lortzeko, biderkatu 3 eta 3.

$$4x+12y=6y+6+9x$$

Kendu 6y bi aldeetatik.

$$4x+12y-6y=6+9x$$

6y lortzeko, konbinatu 12y eta -6y.

$$4x+6y=6+9x$$

Kendu 9x bi aldeetatik.

$$4x+6y-9x=6$$

-5x lortzeko, konbinatu 4x eta -9x.

$$-5x+6y=6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin (5,2,10 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta 3x+5y biderkatzeko.

$$6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 5 eta x+4 biderkatzeko.

$$6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)$$

x+y+9 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$6x+10y=5x+20-x-y-9$$

4x lortzeko, konbinatu 5x eta -x.

$$6x+10y=4x+20-y-9$$

11 lortzeko, 20 balioari kendu 9.

$$6x+10y=4x+11-y$$

Kendu 4x bi aldeetatik.

$$6x+10y-4x=11-y$$

2x lortzeko, konbinatu 6x eta -4x.

$$2x+10y=11-y$$

Gehitu y bi aldeetan.

$$2x+10y+y=11$$

11y lortzeko, konbinatu 10y eta y.

$$2x+11y=11$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-5x+6y=6,2x+11y=11$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-5x+6y=6$$

Egin ken 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=-6y+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-6y+6\right)$$

Egin -\frac{1}{5} bider -6y+6.

$$x=\frac{6}{5}y-\frac{6}{5}$$

Ordeztu \frac{-6+6y}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+11y=11).

$$2\left(\frac{6}{5}y-\frac{6}{5}\right)+11y=11$$

Egin 2 bider \frac{-6+6y}{5}.

$$\frac{12}{5}y-\frac{12}{5}+11y=11$$

Gehitu \frac{12y}{5} eta 11y.

$$\frac{67}{5}y-\frac{12}{5}=11$$

Gehitu \frac{12}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{67}{5}y=\frac{67}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{67}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=\frac{6}{5}y-\frac{6}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{6-6}{5}$$

Gehitu -\frac{6}{5} eta \frac{6}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (3,2,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta x+3y biderkatzeko.

$$4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

Erabili banaketa-propietatea 6 eta y+1 biderkatzeko.

$$4x+12y=6y+6+3\times 3x$$

9 lortzeko, biderkatu 3 eta 3.

$$4x+12y=6y+6+9x$$

Kendu 6y bi aldeetatik.

$$4x+12y-6y=6+9x$$

6y lortzeko, konbinatu 12y eta -6y.

$$4x+6y=6+9x$$

Kendu 9x bi aldeetatik.

$$4x+6y-9x=6$$

-5x lortzeko, konbinatu 4x eta -9x.

$$-5x+6y=6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin (5,2,10 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta 3x+5y biderkatzeko.

$$6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 5 eta x+4 biderkatzeko.

$$6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)$$

x+y+9 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$6x+10y=5x+20-x-y-9$$

4x lortzeko, konbinatu 5x eta -x.

$$6x+10y=4x+20-y-9$$

11 lortzeko, 20 balioari kendu 9.

$$6x+10y=4x+11-y$$

Kendu 4x bi aldeetatik.

$$6x+10y-4x=11-y$$

2x lortzeko, konbinatu 6x eta -4x.

$$2x+10y=11-y$$

Gehitu y bi aldeetan.

$$2x+10y+y=11$$

11y lortzeko, konbinatu 10y eta y.

$$2x+11y=11$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-5x+6y=6,2x+11y=11$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{-5\times 11-6\times 2}&-\frac{6}{-5\times 11-6\times 2}\\-\frac{2}{-5\times 11-6\times 2}&-\frac{5}{-5\times 11-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{67}&\frac{6}{67}\\\frac{2}{67}&\frac{5}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{67}\times 6+\frac{6}{67}\times 11\\\frac{2}{67}\times 6+\frac{5}{67}\times 11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=0,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (3,2,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta x+3y biderkatzeko.

$$4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

Erabili banaketa-propietatea 6 eta y+1 biderkatzeko.

$$4x+12y=6y+6+3\times 3x$$

9 lortzeko, biderkatu 3 eta 3.

$$4x+12y=6y+6+9x$$

Kendu 6y bi aldeetatik.

$$4x+12y-6y=6+9x$$

6y lortzeko, konbinatu 12y eta -6y.

$$4x+6y=6+9x$$

Kendu 9x bi aldeetatik.

$$4x+6y-9x=6$$

-5x lortzeko, konbinatu 4x eta -9x.

$$-5x+6y=6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin (5,2,10 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta 3x+5y biderkatzeko.

$$6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 5 eta x+4 biderkatzeko.

$$6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)$$

x+y+9 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$6x+10y=5x+20-x-y-9$$

4x lortzeko, konbinatu 5x eta -x.

$$6x+10y=4x+20-y-9$$

11 lortzeko, 20 balioari kendu 9.

$$6x+10y=4x+11-y$$

Kendu 4x bi aldeetatik.

$$6x+10y-4x=11-y$$

2x lortzeko, konbinatu 6x eta -4x.

$$2x+10y=11-y$$

Gehitu y bi aldeetan.

$$2x+10y+y=11$$

11y lortzeko, konbinatu 10y eta y.

$$2x+11y=11$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-5x+6y=6,2x+11y=11$$

-5x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\left(-5\right)x+2\times 6y=2\times 6,-5\times 2x-5\times 11y=-5\times 11$$

Sinplifikatu.

$$-10x+12y=12,-10x-55y=-55$$

Egin -10x-55y=-55 ken -10x+12y=12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-10x+10x+12y+55y=12+55$$

Gehitu -10x eta 10x. Sinplifikatu egiten dira -10x eta 10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12y+55y=12+55$$

Gehitu 12y eta 55y.

$$67y=12+55$$

Gehitu 12 eta 55.

$$67y=67$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 67 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin 2x+11y=11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+11=11$$

Egin ken 11 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=1$$