Resolver {l}{x+2/y+5=x+7/y}{2x-4y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { y + 5 } = \frac { x + 7 } { y } } \\ { 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{29}{6} = -4\frac{5}{6} \approx -4.833333333$$

$$y = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. y aldagaia eta -5,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak y\left(y+5\right) balioarekin (y+5,y balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Erabili banaketa-propietatea y eta x+2 biderkatzeko.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Erabili banaketa-propietatea y+5 eta x+7 biderkatzeko.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

Kendu yx bi aldeetatik.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0 lortzeko, konbinatu yx eta -yx.

$$2y=7y+5x+35$$

Kendu 7y bi aldeetatik.

$$2y-7y=5x+35$$

-5y lortzeko, konbinatu 2y eta -7y.

$$-5y=5x+35$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{5}\left(5x+35\right)$$

Egin -\frac{1}{5} bider 35+5x.

$$y=-x-7$$

Ordeztu -x-7 balioa y balioarekin beste ekuazioan (-4y+2x=-1).

$$-4\left(-x-7\right)+2x=-1$$

Egin -4 bider -x-7.

$$4x+28+2x=-1$$

Gehitu 4x eta 2x.

$$6x+28=-1$$

Egin ken 28 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-29$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=-\frac{29}{6}$$

Ordeztu -\frac{29}{6} x balioarekin y=-x-7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-\left(-\frac{29}{6}\right)-7$$

Egin -1 bider -\frac{29}{6}.

$$y=\frac{29}{6}-7$$

Gehitu -7 eta \frac{29}{6}.

$$y=-\frac{13}{6}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. y aldagaia eta -5,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak y\left(y+5\right) balioarekin (y+5,y balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Erabili banaketa-propietatea y eta x+2 biderkatzeko.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Erabili banaketa-propietatea y+5 eta x+7 biderkatzeko.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

Kendu yx bi aldeetatik.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0 lortzeko, konbinatu yx eta -yx.

$$2y=7y+5x+35$$

Kendu 7y bi aldeetatik.

$$2y-7y=5x+35$$

-5y lortzeko, konbinatu 2y eta -7y.

$$-5y=5x+35$$

Kendu 5x bi aldeetatik.

$$-5y-5x=35$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 35-\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{2}{15}\times 35+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\-\frac{29}{6}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. y aldagaia eta -5,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak y\left(y+5\right) balioarekin (y+5,y balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Erabili banaketa-propietatea y eta x+2 biderkatzeko.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Erabili banaketa-propietatea y+5 eta x+7 biderkatzeko.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

Kendu yx bi aldeetatik.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0 lortzeko, konbinatu yx eta -yx.

$$2y=7y+5x+35$$

Kendu 7y bi aldeetatik.

$$2y-7y=5x+35$$

-5y lortzeko, konbinatu 2y eta -7y.

$$-5y=5x+35$$

Kendu 5x bi aldeetatik.

$$-5y-5x=35$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

-5y eta -4y berdintzeko, biderkatu -4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-4\left(-5\right)y-4\left(-5\right)x=-4\times 35,-5\left(-4\right)y-5\times 2x=-5\left(-1\right)$$

Sinplifikatu.

$$20y+20x=-140,20y-10x=5$$

Egin 20y-10x=5 ken 20y+20x=-140 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$20y-20y+20x+10x=-140-5$$

Gehitu 20y eta -20y. Sinplifikatu egiten dira 20y eta -20y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$20x+10x=-140-5$$

Gehitu 20x eta 10x.

$$30x=-140-5$$

Gehitu -140 eta -5.

$$30x=-145$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 30 balioarekin.

$$x=-\frac{29}{6}$$

Ordeztu -\frac{29}{6} x balioarekin -4y+2x=-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-4y+2\left(-\frac{29}{6}\right)=-1$$

Egin 2 bider -\frac{29}{6}.

$$-4y-\frac{29}{3}=-1$$

Gehitu \frac{29}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4y=\frac{26}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=-\frac{13}{6}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$