Resolver {l}{a/4-bln1/2+1/2=1+ln2}{a-2b=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { a } { 4 } - b \ln \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } = 1 + \ln 2 } \\ { a - 2 b = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a=2$$

$$b=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin (4,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

Kendu 2 bi aldeetatik.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

2 lortzeko, 4 balioari kendu 2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 4.

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 4.

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

Erabili banaketa-propietatea 64 eta \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}) biderkatzeko.

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Sinplifikatu 64 eta 4 balioen biderkagai komunetan handiena (4).

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32$$

Egin ken 64\ln(2)b ekuazioaren bi aldeetan.

$$16a=\left(-64\ln(2)\right)b+64\ln(2)+32$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 16 balioarekin.

$$a=\frac{1}{16}\left(\left(-64\ln(2)\right)b+64\ln(2)+32\right)$$

Egin \frac{1}{16} bider -64\ln(2)b+32+64\ln(2).

$$a=\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2$$

Ordeztu -4\ln(2)b+2+4\ln(2) balioa a balioarekin beste ekuazioan (a-2b=0).

$$\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2-2b=0$$

Gehitu -4\ln(2)b eta -2b.

$$\left(-4\ln(2)-2\right)b+4\ln(2)+2=0$$

Egin ken 2+4\ln(2) ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(-4\ln(2)-2\right)b=-4\ln(2)-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4\ln(2)-2 balioarekin.

$$b=1$$

Ordeztu 1 b balioarekin a=\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-4\ln(2)+4\ln(2)+2$$

Gehitu 2+4\ln(2) eta -4\ln(2).

$$a=2$$

Ebatzi da sistema.

$$a=2,b=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin (4,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

Kendu 2 bi aldeetatik.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

2 lortzeko, 4 balioari kendu 2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 4.

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 4.

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

Erabili banaketa-propietatea 64 eta \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}) biderkatzeko.

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Sinplifikatu 64 eta 4 balioen biderkagai komunetan handiena (4).

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}&-\frac{64\ln(2)}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}\\-\frac{1}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}&\frac{16}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16\left(2\ln(2)+1\right)}&\frac{2\ln(2)}{2\ln(2)+1}\\\frac{1}{32\left(2\ln(2)+1\right)}&-\frac{1}{2\left(2\ln(2)+1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16\left(2\ln(2)+1\right)}\left(64\ln(2)+32\right)\\\frac{1}{32\left(2\ln(2)+1\right)}\left(64\ln(2)+32\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=2,b=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin (4,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

Kendu 2 bi aldeetatik.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

2 lortzeko, 4 balioari kendu 2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 4.

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 4.

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

Erabili banaketa-propietatea 64 eta \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}) biderkatzeko.

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Sinplifikatu 64 eta 4 balioen biderkagai komunetan handiena (4).

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

16a eta a berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 16 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,16a+16\left(-2\right)b=0$$

Sinplifikatu.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,16a-32b=0$$

Egin 16a-32b=0 ken 16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$16a-16a+64\ln(2)b+32b=64\ln(2)+32$$

Gehitu 16a eta -16a. Sinplifikatu egiten dira 16a eta -16a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$64\ln(2)b+32b=64\ln(2)+32$$

Gehitu 64\ln(2)b eta 32b.

$$\left(64\ln(2)+32\right)b=64\ln(2)+32$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 32+64\ln(2) balioarekin.

$$b=1$$

Ordeztu 1 b balioarekin a-2b=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a-2=0$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=2$$

Ebatzi da sistema.

$$a=2,b=1$$