Resolver {l}{5(x-3)/4-3(2y+1)/10=4-7(x+y+1)/8}{6x-5(2y-7)=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 ( x - 3 ) } { 4 } - \frac { 3 ( 2 y + 1 ) } { 10 } = \frac { 4 - 7 ( x + y + 1 ) } { 8 } } \\ { 6 x - 5 ( 2 y - 7 ) = 21 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{329}{229} = 1\frac{100}{229} \approx 1.436681223$$

$$y = \frac{518}{229} = 2\frac{60}{229} \approx 2.262008734$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 40 balioarekin (4,10,8 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 lortzeko, biderkatu 10 eta 5.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 50 eta x-3 biderkatzeko.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 lortzeko, biderkatu -4 eta 3.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Erabili banaketa-propietatea -12 eta 2y+1 biderkatzeko.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-162 lortzeko, -150 balioari kendu 12.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Erabili banaketa-propietatea -7 eta x+y+1 biderkatzeko.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

-3 lortzeko, 4 balioari kendu 7.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 5 eta -3-7x-7y biderkatzeko.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Gehitu 35x bi aldeetan.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

85x lortzeko, konbinatu 50x eta 35x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Gehitu 35y bi aldeetan.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

11y lortzeko, konbinatu -24y eta 35y.

$$85x-162+11y=-15$$

Gehitu 162 bi aldeetan.

$$85x+11y=-15+162$$

147 lortzeko, gehitu -15 eta 162.

$$85x+11y=147$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -5 eta 2y-7 biderkatzeko.

$$6x-10y+35=21$$

Kendu 35 bi aldeetatik.

$$6x-10y=21-35$$

-14 lortzeko, 21 balioari kendu 35.

$$6x-10y=-14$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$85x+11y=147$$

Egin ken 11y ekuazioaren bi aldeetan.

$$85x=-11y+147$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 85 balioarekin.

$$x=\frac{1}{85}\left(-11y+147\right)$$

Egin \frac{1}{85} bider -11y+147.

$$x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}$$

Ordeztu \frac{-11y+147}{85} balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x-10y=-14).

$$6\left(-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}\right)-10y=-14$$

Egin 6 bider \frac{-11y+147}{85}.

$$-\frac{66}{85}y+\frac{882}{85}-10y=-14$$

Gehitu -\frac{66y}{85} eta -10y.

$$-\frac{916}{85}y+\frac{882}{85}=-14$$

Egin ken \frac{882}{85} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{916}{85}y=-\frac{2072}{85}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{916}{85} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{518}{229}$$

Ordeztu \frac{518}{229} y balioarekin x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{11}{85}\times \frac{518}{229}+\frac{147}{85}$$

Egin -\frac{11}{85} bider \frac{518}{229}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{5698}{19465}+\frac{147}{85}$$

Gehitu \frac{147}{85} eta -\frac{5698}{19465} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{329}{229}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 40 balioarekin (4,10,8 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 lortzeko, biderkatu 10 eta 5.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 50 eta x-3 biderkatzeko.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 lortzeko, biderkatu -4 eta 3.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Erabili banaketa-propietatea -12 eta 2y+1 biderkatzeko.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-162 lortzeko, -150 balioari kendu 12.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Erabili banaketa-propietatea -7 eta x+y+1 biderkatzeko.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

-3 lortzeko, 4 balioari kendu 7.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 5 eta -3-7x-7y biderkatzeko.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Gehitu 35x bi aldeetan.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

85x lortzeko, konbinatu 50x eta 35x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Gehitu 35y bi aldeetan.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

11y lortzeko, konbinatu -24y eta 35y.

$$85x-162+11y=-15$$

Gehitu 162 bi aldeetan.

$$85x+11y=-15+162$$

147 lortzeko, gehitu -15 eta 162.

$$85x+11y=147$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -5 eta 2y-7 biderkatzeko.

$$6x-10y+35=21$$

Kendu 35 bi aldeetatik.

$$6x-10y=21-35$$

-14 lortzeko, 21 balioari kendu 35.

$$6x-10y=-14$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{85\left(-10\right)-11\times 6}&-\frac{11}{85\left(-10\right)-11\times 6}\\-\frac{6}{85\left(-10\right)-11\times 6}&\frac{85}{85\left(-10\right)-11\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}&\frac{11}{916}\\\frac{3}{458}&-\frac{85}{916}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}\times 147+\frac{11}{916}\left(-14\right)\\\frac{3}{458}\times 147-\frac{85}{916}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{329}{229}\\\frac{518}{229}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 40 balioarekin (4,10,8 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 lortzeko, biderkatu 10 eta 5.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 50 eta x-3 biderkatzeko.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 lortzeko, biderkatu -4 eta 3.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Erabili banaketa-propietatea -12 eta 2y+1 biderkatzeko.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-162 lortzeko, -150 balioari kendu 12.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Erabili banaketa-propietatea -7 eta x+y+1 biderkatzeko.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

-3 lortzeko, 4 balioari kendu 7.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 5 eta -3-7x-7y biderkatzeko.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Gehitu 35x bi aldeetan.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

85x lortzeko, konbinatu 50x eta 35x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Gehitu 35y bi aldeetan.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

11y lortzeko, konbinatu -24y eta 35y.

$$85x-162+11y=-15$$

Gehitu 162 bi aldeetan.

$$85x+11y=-15+162$$

147 lortzeko, gehitu -15 eta 162.

$$85x+11y=147$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -5 eta 2y-7 biderkatzeko.

$$6x-10y+35=21$$

Kendu 35 bi aldeetatik.

$$6x-10y=21-35$$

-14 lortzeko, 21 balioari kendu 35.

$$6x-10y=-14$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

85x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 85 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6\times 85x+6\times 11y=6\times 147,85\times 6x+85\left(-10\right)y=85\left(-14\right)$$

Sinplifikatu.

$$510x+66y=882,510x-850y=-1190$$

Egin 510x-850y=-1190 ken 510x+66y=882 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$510x-510x+66y+850y=882+1190$$

Gehitu 510x eta -510x. Sinplifikatu egiten dira 510x eta -510x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$66y+850y=882+1190$$

Gehitu 66y eta 850y.

$$916y=882+1190$$

Gehitu 882 eta 1190.

$$916y=2072$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 916 balioarekin.

$$y=\frac{518}{229}$$

Ordeztu \frac{518}{229} y balioarekin 6x-10y=-14 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x-10\times \frac{518}{229}=-14$$

Egin -10 bider \frac{518}{229}.

$$6x-\frac{5180}{229}=-14$$

Gehitu \frac{5180}{229} ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=\frac{1974}{229}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{329}{229}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$