Resolver {l}{3x-7/4-2y+1/6=0}{x+2/5-5y+4/3=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 7 } { 4 } - \frac { 2 y + 1 } { 6 } = 0 } \\ { \frac { x + 2 } { 5 } - \frac { 5 y + 4 } { 3 } = - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (4,6 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta 3x-7 biderkatzeko.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

Erabili banaketa-propietatea -2 eta 2y+1 biderkatzeko.

$$9x-21-4y-2=0$$

-23 lortzeko, -21 balioari kendu 2.

$$9x-23-4y=0$$

Gehitu 23 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$9x-4y=23$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin (5,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+2 biderkatzeko.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

Erabili banaketa-propietatea -5 eta 5y+4 biderkatzeko.

$$3x+6-25y-20=-30$$

-14 lortzeko, 6 balioari kendu 20.

$$3x-14-25y=-30$$

Gehitu 14 bi aldeetan.

$$3x-25y=-30+14$$

-16 lortzeko, gehitu -30 eta 14.

$$3x-25y=-16$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$9x-4y=23$$

Gehitu 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x=4y+23$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+23\right)$$

Egin \frac{1}{9} bider 4y+23.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}$$

Ordeztu \frac{4y+23}{9} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-25y=-16).

$$3\left(\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}\right)-25y=-16$$

Egin 3 bider \frac{4y+23}{9}.

$$\frac{4}{3}y+\frac{23}{3}-25y=-16$$

Gehitu \frac{4y}{3} eta -25y.

$$-\frac{71}{3}y+\frac{23}{3}=-16$$

Egin ken \frac{23}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{71}{3}y=-\frac{71}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{71}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{4+23}{9}$$

Gehitu \frac{23}{9} eta \frac{4}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (4,6 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta 3x-7 biderkatzeko.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

Erabili banaketa-propietatea -2 eta 2y+1 biderkatzeko.

$$9x-21-4y-2=0$$

-23 lortzeko, -21 balioari kendu 2.

$$9x-23-4y=0$$

Gehitu 23 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$9x-4y=23$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin (5,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+2 biderkatzeko.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

Erabili banaketa-propietatea -5 eta 5y+4 biderkatzeko.

$$3x+6-25y-20=-30$$

-14 lortzeko, 6 balioari kendu 20.

$$3x-14-25y=-30$$

Gehitu 14 bi aldeetan.

$$3x-25y=-30+14$$

-16 lortzeko, gehitu -30 eta 14.

$$3x-25y=-16$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{25}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{9}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}&-\frac{4}{213}\\\frac{1}{71}&-\frac{3}{71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}\times 23-\frac{4}{213}\left(-16\right)\\\frac{1}{71}\times 23-\frac{3}{71}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (4,6 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta 3x-7 biderkatzeko.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

Erabili banaketa-propietatea -2 eta 2y+1 biderkatzeko.

$$9x-21-4y-2=0$$

-23 lortzeko, -21 balioari kendu 2.

$$9x-23-4y=0$$

Gehitu 23 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$9x-4y=23$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin (5,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+2 biderkatzeko.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

Erabili banaketa-propietatea -5 eta 5y+4 biderkatzeko.

$$3x+6-25y-20=-30$$

-14 lortzeko, 6 balioari kendu 20.

$$3x-14-25y=-30$$

Gehitu 14 bi aldeetan.

$$3x-25y=-30+14$$

-16 lortzeko, gehitu -30 eta 14.

$$3x-25y=-16$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

9x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 9 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 9x+3\left(-4\right)y=3\times 23,9\times 3x+9\left(-25\right)y=9\left(-16\right)$$

Sinplifikatu.

$$27x-12y=69,27x-225y=-144$$

Egin 27x-225y=-144 ken 27x-12y=69 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$27x-27x-12y+225y=69+144$$

Gehitu 27x eta -27x. Sinplifikatu egiten dira 27x eta -27x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-12y+225y=69+144$$

Gehitu -12y eta 225y.

$$213y=69+144$$

Gehitu 69 eta 144.

$$213y=213$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 213 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin 3x-25y=-16 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-25=-16$$

Gehitu 25 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=1$$