Resolver {l}{3x-1/2-4y-7/3=2}{3y-6/4-5-x/6=-1frac{5}{12}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 1 } { 2 } - \frac { 4 y - 7 } { 3 } = 2 } \\ { \frac { 3 y - 6 } { 4 } - \frac { 5 - x } { 6 } = - 1 \frac { 5 } { 12 } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (2,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta 3x-1 biderkatzeko.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

Erabili banaketa-propietatea -2 eta 4y-7 biderkatzeko.

$$9x-3-8y+14=12$$

11 lortzeko, gehitu -3 eta 14.

$$9x+11-8y=12$$

Kendu 11 bi aldeetatik.

$$9x-8y=12-11$$

1 lortzeko, 12 balioari kendu 11.

$$9x-8y=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (4,6,12 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta 3y-6 biderkatzeko.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Erabili banaketa-propietatea -2 eta 5-x biderkatzeko.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

-28 lortzeko, -18 balioari kendu 10.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

12 lortzeko, biderkatu 1 eta 12.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

17 lortzeko, gehitu 12 eta 5.

$$9y-28+2x=-17$$

Gehitu 28 bi aldeetan.

$$9y+2x=-17+28$$

11 lortzeko, gehitu -17 eta 28.

$$9y+2x=11$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$9x-8y=1$$

Gehitu 8y ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x=8y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=\frac{1}{9}\left(8y+1\right)$$

Egin \frac{1}{9} bider 8y+1.

$$x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}$$

Ordeztu \frac{8y+1}{9} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+9y=11).

$$2\left(\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)+9y=11$$

Egin 2 bider \frac{8y+1}{9}.

$$\frac{16}{9}y+\frac{2}{9}+9y=11$$

Gehitu \frac{16y}{9} eta 9y.

$$\frac{97}{9}y+\frac{2}{9}=11$$

Egin ken \frac{2}{9} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{97}{9}y=\frac{97}{9}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{97}{9} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{8+1}{9}$$

Gehitu \frac{1}{9} eta \frac{8}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (2,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta 3x-1 biderkatzeko.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

Erabili banaketa-propietatea -2 eta 4y-7 biderkatzeko.

$$9x-3-8y+14=12$$

11 lortzeko, gehitu -3 eta 14.

$$9x+11-8y=12$$

Kendu 11 bi aldeetatik.

$$9x-8y=12-11$$

1 lortzeko, 12 balioari kendu 11.

$$9x-8y=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (4,6,12 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta 3y-6 biderkatzeko.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Erabili banaketa-propietatea -2 eta 5-x biderkatzeko.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

-28 lortzeko, -18 balioari kendu 10.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

12 lortzeko, biderkatu 1 eta 12.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

17 lortzeko, gehitu 12 eta 5.

$$9y-28+2x=-17$$

Gehitu 28 bi aldeetan.

$$9y+2x=-17+28$$

11 lortzeko, gehitu -17 eta 28.

$$9y+2x=11$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&-\frac{-8}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}&\frac{8}{97}\\-\frac{2}{97}&\frac{9}{97}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}+\frac{8}{97}\times 11\\-\frac{2}{97}+\frac{9}{97}\times 11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (2,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta 3x-1 biderkatzeko.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

Erabili banaketa-propietatea -2 eta 4y-7 biderkatzeko.

$$9x-3-8y+14=12$$

11 lortzeko, gehitu -3 eta 14.

$$9x+11-8y=12$$

Kendu 11 bi aldeetatik.

$$9x-8y=12-11$$

1 lortzeko, 12 balioari kendu 11.

$$9x-8y=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (4,6,12 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta 3y-6 biderkatzeko.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Erabili banaketa-propietatea -2 eta 5-x biderkatzeko.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

-28 lortzeko, -18 balioari kendu 10.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

12 lortzeko, biderkatu 1 eta 12.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

17 lortzeko, gehitu 12 eta 5.

$$9y-28+2x=-17$$

Gehitu 28 bi aldeetan.

$$9y+2x=-17+28$$

11 lortzeko, gehitu -17 eta 28.

$$9y+2x=11$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

9x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 9 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 9x+2\left(-8\right)y=2,9\times 2x+9\times 9y=9\times 11$$

Sinplifikatu.

$$18x-16y=2,18x+81y=99$$

Egin 18x+81y=99 ken 18x-16y=2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$18x-18x-16y-81y=2-99$$

Gehitu 18x eta -18x. Sinplifikatu egiten dira 18x eta -18x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-16y-81y=2-99$$

Gehitu -16y eta -81y.

$$-97y=2-99$$

Gehitu 2 eta -99.

$$-97y=-97$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -97 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin 2x+9y=11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+9=11$$

Egin ken 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=1$$