Resolver {l}{3x+5y/6=-5}{2(x+7)+3y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x + 5 y } { 6 } = - 5 } \\ { 2 ( x + 7 ) + 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-5$$

$$y=-3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$3x+5y=-5\times 6$$

-30 lortzeko, biderkatu -5 eta 6.

$$3x+5y=-30$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+7 biderkatzeko.

$$2x+14+3y=-5$$

Kendu 14 bi aldeetatik.

$$2x+3y=-5-14$$

-19 lortzeko, -5 balioari kendu 14.

$$2x+3y=-19$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+5y=-30$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-5y-30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-30\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -5y-30.

$$x=-\frac{5}{3}y-10$$

Ordeztu -\frac{5y}{3}-10 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+3y=-19).

$$2\left(-\frac{5}{3}y-10\right)+3y=-19$$

Egin 2 bider -\frac{5y}{3}-10.

$$-\frac{10}{3}y-20+3y=-19$$

Gehitu -\frac{10y}{3} eta 3y.

$$-\frac{1}{3}y-20=-19$$

Gehitu 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1}{3}y=1$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=-3$$

Ordeztu -3 y balioarekin x=-\frac{5}{3}y-10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-10$$

Egin -\frac{5}{3} bider -3.

$$x=5-10$$

Gehitu -10 eta 5.

$$x=-5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-5,y=-3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$3x+5y=-5\times 6$$

-30 lortzeko, biderkatu -5 eta 6.

$$3x+5y=-30$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+7 biderkatzeko.

$$2x+14+3y=-5$$

Kendu 14 bi aldeetatik.

$$2x+3y=-5-14$$

-19 lortzeko, -5 balioari kendu 14.

$$2x+3y=-19$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-30\right)+5\left(-19\right)\\2\left(-30\right)-3\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-5,y=-3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$3x+5y=-5\times 6$$

-30 lortzeko, biderkatu -5 eta 6.

$$3x+5y=-30$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+7 biderkatzeko.

$$2x+14+3y=-5$$

Kendu 14 bi aldeetatik.

$$2x+3y=-5-14$$

-19 lortzeko, -5 balioari kendu 14.

$$2x+3y=-19$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

3x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\left(-30\right),3\times 2x+3\times 3y=3\left(-19\right)$$

Sinplifikatu.

$$6x+10y=-60,6x+9y=-57$$

Egin 6x+9y=-57 ken 6x+10y=-60 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+10y-9y=-60+57$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$10y-9y=-60+57$$

Gehitu 10y eta -9y.

$$y=-60+57$$

Gehitu -60 eta 57.

$$y=-3$$

Ordeztu -3 y balioarekin 2x+3y=-19 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+3\left(-3\right)=-19$$

Egin 3 bider -3.

$$2x-9=-19$$

Gehitu 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-5,y=-3$$