Resolver {l}{2x-5/3+3y-4/3=-1/3}{y=x+5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - 5 } { 3 } + \frac { 3 y - 4 } { 3 } = - \frac { 1 } { 3 } } \\ { y = x + 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

-9 lortzeko, -5 balioari kendu 4.

$$2x-9+3y=-1$$

Gehitu 9 bi aldeetan.

$$2x+3y=-1+9$$

8 lortzeko, gehitu -1 eta 9.

$$2x+3y=8$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=5$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=8$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

Ordeztu -\frac{3y}{2}+4 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x+y=5).

$$-\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+y=5$$

Egin -1 bider -\frac{3y}{2}+4.

$$\frac{3}{2}y-4+y=5$$

Gehitu \frac{3y}{2} eta y.

$$\frac{5}{2}y-4=5$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{5}{2}y=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{18}{5}$$

Ordeztu \frac{18}{5} y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{18}{5}+4$$

Egin -\frac{3}{2} bider \frac{18}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{27}{5}+4$$

Gehitu 4 eta -\frac{27}{5}.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

-9 lortzeko, -5 balioari kendu 4.

$$2x-9+3y=-1$$

Gehitu 9 bi aldeetan.

$$2x+3y=-1+9$$

8 lortzeko, gehitu -1 eta 9.

$$2x+3y=8$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=5$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-3\left(-1\right)}&\frac{2}{2-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8-\frac{3}{5}\times 5\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

-9 lortzeko, -5 balioari kendu 4.

$$2x-9+3y=-1$$

Gehitu 9 bi aldeetan.

$$2x+3y=-1+9$$

8 lortzeko, gehitu -1 eta 9.

$$2x+3y=8$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=5$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

2x eta -x berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2x-3y=-8,2\left(-1\right)x+2y=2\times 5$$

Sinplifikatu.

$$-2x-3y=-8,-2x+2y=10$$

Egin -2x+2y=10 ken -2x-3y=-8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2x+2x-3y-2y=-8-10$$

Gehitu -2x eta 2x. Sinplifikatu egiten dira -2x eta 2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3y-2y=-8-10$$

Gehitu -3y eta -2y.

$$-5y=-8-10$$

Gehitu -8 eta -10.

$$-5y=-18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=\frac{18}{5}$$

Ordeztu \frac{18}{5} y balioarekin -x+y=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-x+\frac{18}{5}=5$$

Egin ken \frac{18}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=\frac{7}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$