Resolver {l}{2x+7y/3+y=0}{x+5y-1/2=2-x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 7 y } { 3 } + y = 0 } \\ { x + \frac { 5 y - 1 } { 2 } = 2 - x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 3.

$$2x+7y+3y=0$$

10y lortzeko, konbinatu 7y eta 3y.

$$2x+10y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Gehitu 2x bi aldeetan.

$$2x+5y-1+2x=4$$

4x lortzeko, konbinatu 2x eta 2x.

$$4x+5y-1=4$$

Gehitu 1 bi aldeetan.

$$4x+5y=4+1$$

5 lortzeko, gehitu 4 eta 1.

$$4x+5y=5$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+10y=0$$

Egin ken 10y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-10y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)y$$

Egin \frac{1}{2} bider -10y.

$$x=-5y$$

Ordeztu -5y balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+5y=5).

$$4\left(-5\right)y+5y=5$$

Egin 4 bider -5y.

$$-20y+5y=5$$

Gehitu -20y eta 5y.

$$-15y=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -15 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Ordeztu -\frac{1}{3} y balioarekin x=-5y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-5\left(-\frac{1}{3}\right)$$

Egin -5 bider -\frac{1}{3}.

$$x=\frac{5}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 3.

$$2x+7y+3y=0$$

10y lortzeko, konbinatu 7y eta 3y.

$$2x+10y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Gehitu 2x bi aldeetan.

$$2x+5y-1+2x=4$$

4x lortzeko, konbinatu 2x eta 2x.

$$4x+5y-1=4$$

Gehitu 1 bi aldeetan.

$$4x+5y=4+1$$

5 lortzeko, gehitu 4 eta 1.

$$4x+5y=5$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-10\times 4}&-\frac{10}{2\times 5-10\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-10\times 4}&\frac{2}{2\times 5-10\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5\\-\frac{1}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 3.

$$2x+7y+3y=0$$

10y lortzeko, konbinatu 7y eta 3y.

$$2x+10y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Gehitu 2x bi aldeetan.

$$2x+5y-1+2x=4$$

4x lortzeko, konbinatu 2x eta 2x.

$$4x+5y-1=4$$

Gehitu 1 bi aldeetan.

$$4x+5y=4+1$$

5 lortzeko, gehitu 4 eta 1.

$$4x+5y=5$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

2x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 2x+4\times 10y=0,2\times 4x+2\times 5y=2\times 5$$

Sinplifikatu.

$$8x+40y=0,8x+10y=10$$

Egin 8x+10y=10 ken 8x+40y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x+40y-10y=-10$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$40y-10y=-10$$

Gehitu 40y eta -10y.

$$30y=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 30 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Ordeztu -\frac{1}{3} y balioarekin 4x+5y=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=5$$

Egin 5 bider -\frac{1}{3}.

$$4x-\frac{5}{3}=5$$

Gehitu \frac{5}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=\frac{20}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{5}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$