Resolver {l}{2/3x+1/2y=5}{x-3y=6.}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 1 } { 2 } y = 5 } \\ { x - 3 y = 6 . } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{36}{5} = 7\frac{1}{5} = 7.2$$

$$y=\frac{2}{5}=0.4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,x-3y=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5$$

Egin ken \frac{y}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{1}{2}y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{2}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{2}y+5\right)$$

Egin \frac{3}{2} bider -\frac{y}{2}+5.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{15}{2}$$

Ordeztu -\frac{3y}{4}+\frac{15}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-3y=6).

$$-\frac{3}{4}y+\frac{15}{2}-3y=6$$

Gehitu -\frac{3y}{4} eta -3y.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}=6$$

Egin ken \frac{15}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{15}{4}y=-\frac{3}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{15}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{2}{5}$$

Ordeztu \frac{2}{5} y balioarekin x=-\frac{3}{4}y+\frac{15}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}+\frac{15}{2}$$

Egin -\frac{3}{4} bider \frac{2}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{3}{10}+\frac{15}{2}$$

Gehitu \frac{15}{2} eta -\frac{3}{10} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{36}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{36}{5},y=\frac{2}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,x-3y=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 6\\\frac{2}{5}\times 5-\frac{4}{15}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{36}{5}\\\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{36}{5},y=\frac{2}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,x-3y=6$$

\frac{2x}{3} eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu \frac{2}{3} balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}\left(-3\right)y=\frac{2}{3}\times 6$$

Sinplifikatu.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,\frac{2}{3}x-2y=4$$

Egin \frac{2}{3}x-2y=4 ken \frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y+2y=5-4$$

Gehitu \frac{2x}{3} eta -\frac{2x}{3}. Sinplifikatu egiten dira \frac{2x}{3} eta -\frac{2x}{3}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\frac{1}{2}y+2y=5-4$$

Gehitu \frac{y}{2} eta 2y.

$$\frac{5}{2}y=5-4$$

Gehitu 5 eta -4.

$$\frac{5}{2}y=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{2}{5}$$

Ordeztu \frac{2}{5} y balioarekin x-3y=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-3\times \frac{2}{5}=6$$

Egin -3 bider \frac{2}{5}.

$$x-\frac{6}{5}=6$$

Gehitu \frac{6}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{36}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{36}{5},y=\frac{2}{5}$$