Resolver {l}{1/2(A+B)-B=1}{1/4(2A+B)-B=5/2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } ( A + B ) - B = 1 } \\ { \frac { 1 } { 4 } ( 2 A + B ) - B = \frac { 5 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: A, B

$$A=-4$$

$$B=-6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea \frac{1}{2} eta A+B biderkatzeko.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=1$$

-\frac{1}{2}B lortzeko, konbinatu \frac{1}{2}B eta -B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea \frac{1}{4} eta 2A+B biderkatzeko.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{2}$$

-\frac{3}{4}B lortzeko, konbinatu \frac{1}{4}B eta -B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{2}$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=1,\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{2}$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi A. Horretarako, isolatu A berdin ikurraren ezkerraldean.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=1$$

Gehitu \frac{B}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{2}A=\frac{1}{2}B+1$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$A=2\left(\frac{1}{2}B+1\right)$$

Egin 2 bider \frac{B}{2}+1.

$$A=B+2$$

Ordeztu B+2 balioa A balioarekin beste ekuazioan (\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{2}).

$$\frac{1}{2}\left(B+2\right)-\frac{3}{4}B=\frac{5}{2}$$

Egin \frac{1}{2} bider B+2.

$$\frac{1}{2}B+1-\frac{3}{4}B=\frac{5}{2}$$

Gehitu \frac{B}{2} eta -\frac{3B}{4}.

$$-\frac{1}{4}B+1=\frac{5}{2}$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1}{4}B=\frac{3}{2}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$B=-6$$

Ordeztu -6 B balioarekin A=B+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, A ebatz dezakezu zuzenean.

$$A=-6+2$$

Gehitu 2 eta -6.

$$A=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$A=-4,B=-6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea \frac{1}{2} eta A+B biderkatzeko.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=1$$

-\frac{1}{2}B lortzeko, konbinatu \frac{1}{2}B eta -B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea \frac{1}{4} eta 2A+B biderkatzeko.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{2}$$

-\frac{3}{4}B lortzeko, konbinatu \frac{1}{4}B eta -B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{2}$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=1,\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{2}$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&-4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6-4\times \frac{5}{2}\\4-4\times \frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-6\end{matrix}\right)$$

Atera A eta B matrize-elementuak.

$$A=-4,B=-6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea \frac{1}{2} eta A+B biderkatzeko.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=1$$

-\frac{1}{2}B lortzeko, konbinatu \frac{1}{2}B eta -B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea \frac{1}{4} eta 2A+B biderkatzeko.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{2}$$

-\frac{3}{4}B lortzeko, konbinatu \frac{1}{4}B eta -B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{2}$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=1,\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{2}$$

Egin \frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{2} ken \frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}B=1-\frac{5}{2}$$

Gehitu \frac{A}{2} eta -\frac{A}{2}. Sinplifikatu egiten dira \frac{A}{2} eta -\frac{A}{2}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}B=1-\frac{5}{2}$$

Gehitu -\frac{B}{2} eta \frac{3B}{4}.

$$\frac{1}{4}B=1-\frac{5}{2}$$

Gehitu 1 eta -\frac{5}{2}.

$$\frac{1}{4}B=-\frac{3}{2}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$B=-6$$

Ordeztu -6 B balioarekin \frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, A ebatz dezakezu zuzenean.

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}\left(-6\right)=\frac{5}{2}$$

Egin -\frac{3}{4} bider -6.

$$\frac{1}{2}A+\frac{9}{2}=\frac{5}{2}$$

Egin ken \frac{9}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{2}A=-2$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$A=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$A=-4,B=-6$$