Resolver {c}{2y+5x=12}{-2x-6y=-24}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 y + 5 x = 12 } \\ { - 2 x - 6 y = - 24 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=\frac{12}{13}\approx 0.923076923$$

$$y = \frac{48}{13} = 3\frac{9}{13} \approx 3.692307692$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2y+5x=12$$

Egin ken 5x ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=-5x+12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=\frac{1}{2}\left(-5x+12\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -5x+12.

$$y=-\frac{5}{2}x+6$$

Ordeztu -\frac{5x}{2}+6 balioa y balioarekin beste ekuazioan (-6y-2x=-24).

$$-6\left(-\frac{5}{2}x+6\right)-2x=-24$$

Egin -6 bider -\frac{5x}{2}+6.

$$15x-36-2x=-24$$

Gehitu 15x eta -2x.

$$13x-36=-24$$

Gehitu 36 ekuazioaren bi aldeetan.

$$13x=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 13 balioarekin.

$$x=\frac{12}{13}$$

Ordeztu \frac{12}{13} x balioarekin y=-\frac{5}{2}x+6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-\frac{5}{2}\times \frac{12}{13}+6$$

Egin -\frac{5}{2} bider \frac{12}{13}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=-\frac{30}{13}+6$$

Gehitu 6 eta -\frac{30}{13}.

$$y=\frac{48}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{5}{26}\\\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 12-\frac{5}{26}\left(-24\right)\\\frac{3}{13}\times 12+\frac{1}{13}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{13}\\\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

2y eta -6y berdintzeko, biderkatu -6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-6\times 2y-6\times 5x=-6\times 12,2\left(-6\right)y+2\left(-2\right)x=2\left(-24\right)$$

Sinplifikatu.

$$-12y-30x=-72,-12y-4x=-48$$

Egin -12y-4x=-48 ken -12y-30x=-72 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-12y+12y-30x+4x=-72+48$$

Gehitu -12y eta 12y. Sinplifikatu egiten dira -12y eta 12y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-30x+4x=-72+48$$

Gehitu -30x eta 4x.

$$-26x=-72+48$$

Gehitu -72 eta 48.

$$-26x=-24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -26 balioarekin.

$$x=\frac{12}{13}$$

Ordeztu \frac{12}{13} x balioarekin -6y-2x=-24 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-6y-2\times \frac{12}{13}=-24$$

Egin -2 bider \frac{12}{13}.

$$-6y-\frac{24}{13}=-24$$

Gehitu \frac{24}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-6y=-\frac{288}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$y=\frac{48}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$