Resolver {c}{2x+3y=13}{-6x+y=11}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = 13 } \\ { - 6 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-1$$

$$y=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=13,-6x+y=11$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=13$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+13\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+13.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}$$

Ordeztu \frac{-3y+13}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-6x+y=11).

$$-6\left(-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}\right)+y=11$$

Egin -6 bider \frac{-3y+13}{2}.

$$9y-39+y=11$$

Gehitu 9y eta y.

$$10y-39=11$$

Gehitu 39 ekuazioaren bi aldeetan.

$$10y=50$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\times 5+\frac{13}{2}$$

Egin -\frac{3}{2} bider 5.

$$x=\frac{-15+13}{2}$$

Gehitu \frac{13}{2} eta -\frac{15}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=13,-6x+y=11$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-6\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2-3\left(-6\right)}&\frac{2}{2-3\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&-\frac{3}{20}\\\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\times 13-\frac{3}{20}\times 11\\\frac{3}{10}\times 13+\frac{1}{10}\times 11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-1,y=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=13,-6x+y=11$$

2x eta -6x berdintzeko, biderkatu -6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-6\times 2x-6\times 3y=-6\times 13,2\left(-6\right)x+2y=2\times 11$$

Sinplifikatu.

$$-12x-18y=-78,-12x+2y=22$$

Egin -12x+2y=22 ken -12x-18y=-78 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-12x+12x-18y-2y=-78-22$$

Gehitu -12x eta 12x. Sinplifikatu egiten dira -12x eta 12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-18y-2y=-78-22$$

Gehitu -18y eta -2y.

$$-20y=-78-22$$

Gehitu -78 eta -22.

$$-20y=-100$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -20 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin -6x+y=11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-6x+5=11$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-6x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=5$$