Resolver {c}{-x+5y=1}{-2x-5y=11}

$$\left\{ \begin{array} { c } { - x + 5 y = 1 } \\ { - 2 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-4$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-x+5y=1$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-5y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-\left(-5y+1\right)$$

Egin -1 bider -5y+1.

$$x=5y-1$$

Ordeztu 5y-1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-2x-5y=11).

$$-2\left(5y-1\right)-5y=11$$

Egin -2 bider 5y-1.

$$-10y+2-5y=11$$

Gehitu -10y eta -5y.

$$-15y+2=11$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-15y=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -15 balioarekin.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Ordeztu -\frac{3}{5} y balioarekin x=5y-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=5\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

Egin 5 bider -\frac{3}{5}.

$$x=-3-1$$

Gehitu -1 eta -3.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times 11\\\frac{2}{15}-\frac{1}{15}\times 11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

-x eta -2x berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2,-\left(-2\right)x-\left(-5y\right)=-11$$

Sinplifikatu.

$$2x-10y=-2,2x+5y=-11$$

Egin 2x+5y=-11 ken 2x-10y=-2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x-10y-5y=-2+11$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-10y-5y=-2+11$$

Gehitu -10y eta -5y.

$$-15y=-2+11$$

Gehitu -2 eta 11.

$$-15y=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -15 balioarekin.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Ordeztu -\frac{3}{5} y balioarekin -2x-5y=11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2x-5\left(-\frac{3}{5}\right)=11$$

Egin -5 bider -\frac{3}{5}.

$$-2x+3=11$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$