Resolver {c}{-3(3x-y)=2(y+x)}{-3(2x+y)=2(x-3y)}

$$\left\{ \begin{array} { c } { - 3 ( 3 x - y ) = 2 ( y + x ) } \\ { - 3 ( 2 x + y ) = 2 ( x - 3 y ) } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -3 eta 3x-y biderkatzeko.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta y+x biderkatzeko.

$$-9x+3y=2y+2x$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$-9x+3y-2y=2x$$

y lortzeko, konbinatu 3y eta -2y.

$$-9x+y=2x$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$-9x+y-2x=0$$

-11x lortzeko, konbinatu -9x eta -2x.

$$-11x+y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -3 eta 2x+y biderkatzeko.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-3y biderkatzeko.

$$-6x-3y=2x-6y$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

-8x lortzeko, konbinatu -6x eta -2x.

$$-8x-3y=-6y$$

Gehitu 6y bi aldeetan.

$$-8x-3y+6y=0$$

3y lortzeko, konbinatu -3y eta 6y.

$$-8x+3y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-11x+y=0$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-11x=-y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -11 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{11}\left(-1\right)y$$

Egin -\frac{1}{11} bider -y.

$$x=\frac{1}{11}y$$

Ordeztu \frac{y}{11} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-8x+3y=0).

$$-8\times \frac{1}{11}y+3y=0$$

Egin -8 bider \frac{y}{11}.

$$-\frac{8}{11}y+3y=0$$

Gehitu -\frac{8y}{11} eta 3y.

$$\frac{25}{11}y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{25}{11} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin x=\frac{1}{11}y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=0$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -3 eta 3x-y biderkatzeko.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta y+x biderkatzeko.

$$-9x+3y=2y+2x$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$-9x+3y-2y=2x$$

y lortzeko, konbinatu 3y eta -2y.

$$-9x+y=2x$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$-9x+y-2x=0$$

-11x lortzeko, konbinatu -9x eta -2x.

$$-11x+y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -3 eta 2x+y biderkatzeko.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-3y biderkatzeko.

$$-6x-3y=2x-6y$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

-8x lortzeko, konbinatu -6x eta -2x.

$$-8x-3y=-6y$$

Gehitu 6y bi aldeetan.

$$-8x-3y+6y=0$$

3y lortzeko, konbinatu -3y eta 6y.

$$-8x+3y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{1}{-11\times 3-\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{11}{-11\times 3-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{8}{25}&\frac{11}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=0,y=0$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -3 eta 3x-y biderkatzeko.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta y+x biderkatzeko.

$$-9x+3y=2y+2x$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$-9x+3y-2y=2x$$

y lortzeko, konbinatu 3y eta -2y.

$$-9x+y=2x$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$-9x+y-2x=0$$

-11x lortzeko, konbinatu -9x eta -2x.

$$-11x+y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -3 eta 2x+y biderkatzeko.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-3y biderkatzeko.

$$-6x-3y=2x-6y$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

-8x lortzeko, konbinatu -6x eta -2x.

$$-8x-3y=-6y$$

Gehitu 6y bi aldeetan.

$$-8x-3y+6y=0$$

3y lortzeko, konbinatu -3y eta 6y.

$$-8x+3y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

-11x eta -8x berdintzeko, biderkatu -8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -11 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-8\left(-11\right)x-8y=0,-11\left(-8\right)x-11\times 3y=0$$

Sinplifikatu.

$$88x-8y=0,88x-33y=0$$

Egin 88x-33y=0 ken 88x-8y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$88x-88x-8y+33y=0$$

Gehitu 88x eta -88x. Sinplifikatu egiten dira 88x eta -88x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-8y+33y=0$$

Gehitu -8y eta 33y.

$$25y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 25 balioarekin.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin -8x+3y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-8x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=0$$