Resolver ∫ x(x+5)^3 wrt x

$$\int x ( x + 5 ) ^ { 3 } d x$$

Ebaluatu

$$\frac{x^{5}}{5}+\frac{15x^{4}}{4}+25x^{3}+\frac{125x^{2}}{2}+С$$

Ebazpidea

\left(x+5\right)^{3} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.

$$\int x\left(x^{3}+15x^{2}+75x+125\right)\mathrm{d}x$$

Erabili banaketa-propietatea x eta x^{3}+15x^{2}+75x+125 biderkatzeko.

$$\int x^{4}+15x^{3}+75x^{2}+125x\mathrm{d}x$$

Integratu gehiketa gaiz gai.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x+\int 15x^{3}\mathrm{d}x+\int 75x^{2}\mathrm{d}x+\int 125x\mathrm{d}x$$

Deskonposatu konstantea gaika.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x+15\int x^{3}\mathrm{d}x+75\int x^{2}\mathrm{d}x+125\int x\mathrm{d}x$$

Baldin k\neq -1rentzat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}, ordeztu \int x^{4}\mathrm{d}x \frac{x^{5}}{5}rekin.

$$\frac{x^{5}}{5}+15\int x^{3}\mathrm{d}x+75\int x^{2}\mathrm{d}x+125\int x\mathrm{d}x$$

Baldin k\neq -1rentzat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}, ordeztu \int x^{3}\mathrm{d}x \frac{x^{4}}{4}rekin. Egin 15 bider \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{5}}{5}+\frac{15x^{4}}{4}+75\int x^{2}\mathrm{d}x+125\int x\mathrm{d}x$$

Baldin k\neq -1rentzat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}, ordeztu \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}rekin. Egin 75 bider \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{5}}{5}+\frac{15x^{4}}{4}+25x^{3}+125\int x\mathrm{d}x$$

Baldin k\neq -1rentzat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}, ordeztu \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}rekin. Egin 125 bider \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{5}}{5}+\frac{15x^{4}}{4}+25x^{3}+\frac{125x^{2}}{2}$$

Sinplifikatu.

$$\frac{125x^{2}}{2}+25x^{3}+\frac{15x^{4}}{4}+\frac{x^{5}}{5}$$

F\left(x\right) f\left(x\right)ren jatorrizkoa bada, orduan f\left(x\right)ren jatorrizko guztien multzoa ematen du F\left(x\right)+Ck. Beraz, gehitu C\in \mathrm{R} integrazio-konstantea emaitzari.

$$\frac{125x^{2}}{2}+25x^{3}+\frac{15x^{4}}{4}+\frac{x^{5}}{5}+С$$

Diferentziatu x balioarekiko

$$x\left(x+5\right)^{3}$$