Resolver ∫ (from 1 to 3) of (x-1)^3 wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 3 } ( x - 1 ) ^ { 3 } d x$$

Ebaluatu

$$4$$

Ebazpidea

\left(x-1\right)^{3} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}.

$$\int _{1}^{3}x^{3}-3x^{2}+3x-1\mathrm{d}x$$

Ebaluatu lehenik integral indefinitua.

$$\int x^{3}-3x^{2}+3x-1\mathrm{d}x$$

Integratu gehiketa gaiz gai.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int -3x^{2}\mathrm{d}x+\int 3x\mathrm{d}x+\int -1\mathrm{d}x$$

Deskonposatu konstantea gaika.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x-3\int x^{2}\mathrm{d}x+3\int x\mathrm{d}x+\int -1\mathrm{d}x$$

Baldin k\neq -1rentzat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}, ordeztu \int x^{3}\mathrm{d}x \frac{x^{4}}{4}rekin.

$$\frac{x^{4}}{4}-3\int x^{2}\mathrm{d}x+3\int x\mathrm{d}x+\int -1\mathrm{d}x$$

Baldin k\neq -1rentzat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}, ordeztu \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}rekin. Egin -3 bider \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{4}-x^{3}+3\int x\mathrm{d}x+\int -1\mathrm{d}x$$

Baldin k\neq -1rentzat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}, ordeztu \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}rekin. Egin 3 bider \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{4}-x^{3}+\frac{3x^{2}}{2}+\int -1\mathrm{d}x$$

Aurkitu -1en integrala integral arrunten taulako \int a\mathrm{d}x=ax araua erabiliz.

$$\frac{x^{4}}{4}-x^{3}+\frac{3x^{2}}{2}-x$$

Hau da integral definitua: integrazioaren goiko limitean ebaluatutako adierazpenaren jatorrizko funtzioa ken integrazioaren beheko limitean ebaluatutako jatorrizko funtzioa.

$$\frac{3^{4}}{4}-3^{3}+\frac{3}{2}\times 3^{2}-3-\left(\frac{1^{4}}{4}-1^{3}+\frac{3}{2}\times 1^{2}-1\right)$$

Sinplifikatu.

$$4$$