Resolver ∫ (from 0 to 4) of (6-(4-sqrt{x})^2) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 4 } ( 6 - ( 4 - \sqrt { x } ) ^ { 2 } ) d x$$

Ebaluatu

$$-\frac{16}{3}\approx -5.333333333$$

Ebazpidea

\left(4-\sqrt{x}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

x lortzeko, egin \sqrt{x} ber 2.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+x\right)\mathrm{d}x$$

16-8\sqrt{x}+x funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$\int _{0}^{4}6-16+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

-10 lortzeko, 6 balioari kendu 16.

$$\int _{0}^{4}-10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Ebaluatu lehenik integral indefinitua.

$$\int -10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Integratu gehiketa gaiz gai.

$$\int -10\mathrm{d}x+\int 8\sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

Deskonposatu konstantea gaika.

$$\int -10\mathrm{d}x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Aurkitu -10en integrala integral arrunten taulako \int a\mathrm{d}x=ax araua erabiliz.

$$-10x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Berridatzi \sqrt{x} honela: x^{\frac{1}{2}}. Baldin k\neq -1rentzat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}, ordeztu \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}rekin. Sinplifikatu. Egin 8 bider \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int x\mathrm{d}x$$

Baldin k\neq -1rentzat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}, ordeztu \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}rekin. Egin -1 bider \frac{x^{2}}{2}.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Sinplifikatu.

$$-10x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Hau da integral definitua: integrazioaren goiko limitean ebaluatutako adierazpenaren jatorrizko funtzioa ken integrazioaren beheko limitean ebaluatutako jatorrizko funtzioa.

$$-10\times 4-\frac{4^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}-\left(-10\times 0-\frac{0^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}\right)$$

Sinplifikatu.

$$-\frac{16}{3}$$