Resolver x-1/2x+1=2x+1/x-1+3

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0.434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0.767591879$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -\frac{1}{2},1 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-1\right)\left(2x+1\right) balioarekin (2x+1,x-1 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

\left(x-1\right)^{2} lortzeko, biderkatu x-1 eta x-1.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

\left(2x+1\right)^{2} lortzeko, biderkatu 2x+1 eta 2x+1.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

\left(x-1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

\left(2x+1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Erabili banaketa-propietatea x-1 eta 2x+1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Erabili banaketa-propietatea 2x^{2}-x-1 eta 3 biderkatzeko.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

10x^{2} lortzeko, konbinatu 4x^{2} eta 6x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

x lortzeko, konbinatu 4x eta -3x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

-2 lortzeko, 1 balioari kendu 3.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Kendu 10x^{2} bi aldeetatik.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

-9x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta -10x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Kendu x bi aldeetatik.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

-3x lortzeko, konbinatu -2x eta -x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Gehitu 2 bi aldeetan.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

3 lortzeko, gehitu 1 eta 2.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -9 balioa a balioarekin, -3 balioa b balioarekin, eta 3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Egin -3 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Egin -4 bider -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Egin 36 bider 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

Gehitu 9 eta 108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

Atera 117 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

-3 zenbakiaren aurkakoa 3 da.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Egin 2 bider -9.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

Orain, ebatzi x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 3 eta 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

Zatitu 3+3\sqrt{13} balioa -18 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} ekuazioa ± minus denean. Egin 3\sqrt{13} ken 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

Zatitu 3-3\sqrt{13} balioa -18 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -\frac{1}{2},1 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-1\right)\left(2x+1\right) balioarekin (2x+1,x-1 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

\left(x-1\right)^{2} lortzeko, biderkatu x-1 eta x-1.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

\left(2x+1\right)^{2} lortzeko, biderkatu 2x+1 eta 2x+1.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

\left(x-1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

\left(2x+1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Erabili banaketa-propietatea x-1 eta 2x+1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Erabili banaketa-propietatea 2x^{2}-x-1 eta 3 biderkatzeko.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

10x^{2} lortzeko, konbinatu 4x^{2} eta 6x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

x lortzeko, konbinatu 4x eta -3x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

-2 lortzeko, 1 balioari kendu 3.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Kendu 10x^{2} bi aldeetatik.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

-9x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta -10x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Kendu x bi aldeetatik.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

-3x lortzeko, konbinatu -2x eta -x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Kendu 1 bi aldeetatik.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

-3 lortzeko, -2 balioari kendu 1.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

-9 balioarekin zatituz gero, -9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

Murriztu \frac{-3}{-9} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

Murriztu \frac{-3}{-9} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

Zatitu \frac{1}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Gehitu \frac{1}{3} eta \frac{1}{36} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

Atera x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Egin ken \frac{1}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$