Resolver 5/4x^2-1/2x+1/4=0

$$\frac{ 5 }{ 4 } { x }^{ 2 } - \frac{ 1 }{ 2 } x+ \frac{ 1 }{ 4 } = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i=0.2+0.4i$$

$$x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i=0.2-0.4i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$\frac{5}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu \frac{5}{4} balioa a balioarekin, -\frac{1}{2} balioa b balioarekin, eta \frac{1}{4} balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}-4\times \frac{5}{4}\times \frac{1}{4}}}{2\times \frac{5}{4}}$$

Egin -\frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±\sqrt{\frac{1}{4}-4\times \frac{5}{4}\times \frac{1}{4}}}{2\times \frac{5}{4}}$$

Egin -4 bider \frac{5}{4}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±\sqrt{\frac{1}{4}-5\times \frac{1}{4}}}{2\times \frac{5}{4}}$$

Egin -5 bider \frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±\sqrt{\frac{1-5}{4}}}{2\times \frac{5}{4}}$$

Gehitu \frac{1}{4} eta -\frac{5}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±\sqrt{-1}}{2\times \frac{5}{4}}$$

Atera -1 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±i}{2\times \frac{5}{4}}$$

-\frac{1}{2} zenbakiaren aurkakoa \frac{1}{2} da.

$$x=\frac{\frac{1}{2}±i}{2\times \frac{5}{4}}$$

Egin 2 bider \frac{5}{4}.

$$x=\frac{\frac{1}{2}±i}{\frac{5}{2}}$$

Orain, ebatzi x=\frac{\frac{1}{2}±i}{\frac{5}{2}} ekuazioa ± plus denean. Gehitu \frac{1}{2} eta i.

$$x=\frac{\frac{1}{2}+i}{\frac{5}{2}}$$

Zatitu \frac{1}{2}+i balioa \frac{5}{2} frakzioarekin, \frac{1}{2}+i balioa \frac{5}{2} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i$$

Orain, ebatzi x=\frac{\frac{1}{2}±i}{\frac{5}{2}} ekuazioa ± minus denean. Egin i ken \frac{1}{2}.

$$x=\frac{\frac{1}{2}-i}{\frac{5}{2}}$$

Zatitu \frac{1}{2}-i balioa \frac{5}{2} frakzioarekin, \frac{1}{2}-i balioa \frac{5}{2} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$\frac{5}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}=0$$

Egin ken \frac{1}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{5}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4} balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$\frac{5}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$\frac{\frac{5}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x}{\frac{5}{4}}=-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{4}}$$

\frac{5}{4} balioarekin zatituz gero, \frac{5}{4} balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{4}}\right)x=-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{4}}$$

Zatitu -\frac{1}{2} balioa \frac{5}{4} frakzioarekin, -\frac{1}{2} balioa \frac{5}{4} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{4}}$$

Zatitu -\frac{1}{4} balioa \frac{5}{4} frakzioarekin, -\frac{1}{4} balioa \frac{5}{4} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Zatitu -\frac{2}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{5} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{5} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{5} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{1}{25}$$

Gehitu -\frac{1}{5} eta \frac{1}{25} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{4}{25}$$

Atera x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{4}{25}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{4}{25}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{2}{5}i x-\frac{1}{5}=-\frac{2}{5}i$$

Gehitu \frac{1}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$