Resolver 4x-1/2x^2/2=15/4

$$\frac{ 4x- \frac{ 1 }{ 2 } { x }^{ 2 } }{ 2 } = \frac{ 15 }{ 4 }$$

Ebatzi: x

$$x=3$$

$$x=5$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$4x-\frac{1}{2}x^{2}=\frac{15}{4}\times 2$$

\frac{15}{2} lortzeko, biderkatu \frac{15}{4} eta 2.

$$4x-\frac{1}{2}x^{2}=\frac{15}{2}$$

Kendu \frac{15}{2} bi aldeetatik.

$$4x-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{15}{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-\frac{1}{2}x^{2}+4x-\frac{15}{2}=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -\frac{1}{2} balioa a balioarekin, 4 balioa b balioarekin, eta -\frac{15}{2} balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{15}{2}\right)}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Egin 4 ber bi.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{15}{2}\right)}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Egin -4 bider -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+2\left(-\frac{15}{2}\right)}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Egin 2 bider -\frac{15}{2}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-15}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Gehitu 16 eta -15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Atera 1 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-4±1}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Egin 2 bider -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{-4±1}{-1}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4±1}{-1} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -4 eta 1.

$$x=-\frac{3}{-1}$$

Zatitu -3 balioa -1 balioarekin.

$$x=3$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4±1}{-1} ekuazioa ± minus denean. Egin 1 ken -4.

$$x=-\frac{5}{-1}$$

Zatitu -5 balioa -1 balioarekin.

$$x=5$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=3 x=5$$

Karratua osatzeko urratsak

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$4x-\frac{1}{2}x^{2}=\frac{15}{4}\times 2$$

\frac{15}{2} lortzeko, biderkatu \frac{15}{4} eta 2.

$$4x-\frac{1}{2}x^{2}=\frac{15}{2}$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-\frac{1}{2}x^{2}+4x=\frac{15}{2}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$\frac{-\frac{1}{2}x^{2}+4x}{-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{15}{2}}{-\frac{1}{2}}$$

-\frac{1}{2} balioarekin zatituz gero, -\frac{1}{2} balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{4}{-\frac{1}{2}}x=\frac{\frac{15}{2}}{-\frac{1}{2}}$$

Zatitu 4 balioa -\frac{1}{2} frakzioarekin, 4 balioa -\frac{1}{2} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}-8x=\frac{\frac{15}{2}}{-\frac{1}{2}}$$

Zatitu \frac{15}{2} balioa -\frac{1}{2} frakzioarekin, \frac{15}{2} balioa -\frac{1}{2} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}-8x=-15$$

Zatitu -8 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -4 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -4 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Egin -4 ber bi.

$$x^{2}-8x+16=-15+16$$

Gehitu -15 eta 16.

$$x^{2}-8x+16=1$$

Atera x^{2}-8x+16 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-4\right)^{2}=1$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Sinplifikatu.

$$x-4=1 x-4=-1$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=5 x=3$$