Resolver 400/x+20+400/52/x+20+frac{400/53}{x}=11

$$\frac{ 400 }{ x+20 } + \frac{ \frac{ 400 }{ 5 } 2 }{ x+20 } + \frac{ \frac{ 400 }{ 5 } 3 }{ x } = 11$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{80}{11} = -7\frac{3}{11} \approx -7.272727273$$

$$x=60$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

x aldagaia eta -20,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak x\left(x+20\right) balioarekin (x+20,x balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

80 lortzeko, zatitu 400 5 balioarekin.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

160 lortzeko, biderkatu 80 eta 2.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

560x lortzeko, konbinatu x\times 400 eta x\times 160.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

80 lortzeko, zatitu 400 5 balioarekin.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

240 lortzeko, biderkatu 80 eta 3.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+20 eta 240 biderkatzeko.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

800x lortzeko, konbinatu 560x eta 240x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 11x eta x+20 biderkatzeko.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Kendu 11x^{2} bi aldeetatik.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Kendu 220x bi aldeetatik.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

580x lortzeko, konbinatu 800x eta -220x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$-11x^{2}+580x+4800=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -11x^{2}+ax+bx+4800 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=580 ab=-11\times 4800=-52800$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -52800 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,52800 -2,26400 -3,17600 -4,13200 -5,10560 -6,8800 -8,6600 -10,5280 -11,4800 -12,4400 -15,3520 -16,3300 -20,2640 -22,2400 -24,2200 -25,2112 -30,1760 -32,1650 -33,1600 -40,1320 -44,1200 -48,1100 -50,1056 -55,960 -60,880 -64,825 -66,800 -75,704 -80,660 -88,600 -96,550 -100,528 -110,480 -120,440 -132,400 -150,352 -160,330 -165,320 -176,300 -192,275 -200,264 -220,240$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+52800=52799 -2+26400=26398 -3+17600=17597 -4+13200=13196 -5+10560=10555 -6+8800=8794 -8+6600=6592 -10+5280=5270 -11+4800=4789 -12+4400=4388 -15+3520=3505 -16+3300=3284 -20+2640=2620 -22+2400=2378 -24+2200=2176 -25+2112=2087 -30+1760=1730 -32+1650=1618 -33+1600=1567 -40+1320=1280 -44+1200=1156 -48+1100=1052 -50+1056=1006 -55+960=905 -60+880=820 -64+825=761 -66+800=734 -75+704=629 -80+660=580 -88+600=512 -96+550=454 -100+528=428 -110+480=370 -120+440=320 -132+400=268 -150+352=202 -160+330=170 -165+320=155 -176+300=124 -192+275=83 -200+264=64 -220+240=20$$

580 batura duen parea da soluzioa.

$$a=660 b=-80$$

Berridatzi -11x^{2}+580x+4800 honela: \left(-11x^{2}+660x\right)+\left(-80x+4800\right).

$$\left(-11x^{2}+660x\right)+\left(-80x+4800\right)$$

Deskonposatu 11x lehen taldean, eta 80 bigarren taldean.

$$11x\left(-x+60\right)+80\left(-x+60\right)$$

Deskonposatu -x+60 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(-x+60\right)\left(11x+80\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi -x+60=0 eta 11x+80=0.

$$x=60 x=-\frac{80}{11}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -20,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak x\left(x+20\right) balioarekin (x+20,x balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

80 lortzeko, zatitu 400 5 balioarekin.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

160 lortzeko, biderkatu 80 eta 2.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

560x lortzeko, konbinatu x\times 400 eta x\times 160.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

80 lortzeko, zatitu 400 5 balioarekin.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

240 lortzeko, biderkatu 80 eta 3.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+20 eta 240 biderkatzeko.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

800x lortzeko, konbinatu 560x eta 240x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 11x eta x+20 biderkatzeko.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Kendu 11x^{2} bi aldeetatik.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Kendu 220x bi aldeetatik.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

580x lortzeko, konbinatu 800x eta -220x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-11x^{2}+580x+4800=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -11 balioa a balioarekin, 580 balioa b balioarekin, eta 4800 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-580±\sqrt{580^{2}-4\left(-11\right)\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Egin 580 ber bi.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400-4\left(-11\right)\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Egin -4 bider -11.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400+44\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Egin 44 bider 4800.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400+211200}}{2\left(-11\right)}$$

Gehitu 336400 eta 211200.

$$x=\frac{-580±\sqrt{547600}}{2\left(-11\right)}$$

Atera 547600 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-580±740}{2\left(-11\right)}$$

Egin 2 bider -11.

$$x=\frac{-580±740}{-22}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-580±740}{-22} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -580 eta 740.

$$x=\frac{160}{-22}$$

Murriztu \frac{160}{-22} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{80}{11}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-580±740}{-22} ekuazioa ± minus denean. Egin 740 ken -580.

$$x=-\frac{1320}{-22}$$

Zatitu -1320 balioa -22 balioarekin.

$$x=60$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-\frac{80}{11} x=60$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -20,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak x\left(x+20\right) balioarekin (x+20,x balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

80 lortzeko, zatitu 400 5 balioarekin.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

160 lortzeko, biderkatu 80 eta 2.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

560x lortzeko, konbinatu x\times 400 eta x\times 160.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

80 lortzeko, zatitu 400 5 balioarekin.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

240 lortzeko, biderkatu 80 eta 3.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+20 eta 240 biderkatzeko.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

800x lortzeko, konbinatu 560x eta 240x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 11x eta x+20 biderkatzeko.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Kendu 11x^{2} bi aldeetatik.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Kendu 220x bi aldeetatik.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

580x lortzeko, konbinatu 800x eta -220x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Kendu 4800 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$580x-11x^{2}=-4800$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-11x^{2}+580x=-4800$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -11 balioarekin.

$$\frac{-11x^{2}+580x}{-11}=-\frac{4800}{-11}$$

-11 balioarekin zatituz gero, -11 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{580}{-11}x=-\frac{4800}{-11}$$

Zatitu 580 balioa -11 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x=-\frac{4800}{-11}$$

Zatitu -4800 balioa -11 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x=\frac{4800}{11}$$

Zatitu -\frac{580}{11} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{290}{11} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{290}{11} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\left(-\frac{290}{11}\right)^{2}=\frac{4800}{11}+\left(-\frac{290}{11}\right)^{2}$$

Egin -\frac{290}{11} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}=\frac{4800}{11}+\frac{84100}{121}$$

Gehitu \frac{4800}{11} eta \frac{84100}{121} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}=\frac{136900}{121}$$

Atera x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{290}{11}\right)^{2}=\frac{136900}{121}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{290}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{136900}{121}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{290}{11}=\frac{370}{11} x-\frac{290}{11}=-\frac{370}{11}$$

Gehitu \frac{290}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=60 x=-\frac{80}{11}$$