Resolver 20/x-5=60/x+5+1

$$\frac{ 20 }{ x-5 } = \frac{ 60 }{ x+5 } +1$$

Ebatzi: x

$$x=5\sqrt{33}-20\approx 8.722813233$$

$$x=-5\sqrt{33}-20\approx -48.722813233$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -5,5 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-5\right)\left(x+5\right) balioarekin (x-5,x+5 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x+5\right)\times 20=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+5 eta 20 biderkatzeko.

$$20x+100=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-5 eta 60 biderkatzeko.

$$20x+100=60x-300+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Kasurako: \left(x-5\right)\left(x+5\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Egin 5 ber bi.

$$20x+100=60x-300+x^{2}-25$$

-325 lortzeko, -300 balioari kendu 25.

$$20x+100=60x-325+x^{2}$$

Kendu 60x bi aldeetatik.

$$20x+100-60x=-325+x^{2}$$

-40x lortzeko, konbinatu 20x eta -60x.

$$-40x+100=-325+x^{2}$$

Kendu -325 bi aldeetatik.

$$-40x+100-\left(-325\right)=x^{2}$$

-325 zenbakiaren aurkakoa 325 da.

$$-40x+100+325=x^{2}$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$-40x+100+325-x^{2}=0$$

425 lortzeko, gehitu 100 eta 325.

$$-40x+425-x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-x^{2}-40x+425=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -1 balioa a balioarekin, -40 balioa b balioarekin, eta 425 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 425}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -40 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\left(-1\right)\times 425}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -4 bider -1.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+4\times 425}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 4 bider 425.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+1700}}{2\left(-1\right)}$$

Gehitu 1600 eta 1700.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{3300}}{2\left(-1\right)}$$

Atera 3300 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10\sqrt{33}}{2\left(-1\right)}$$

-40 zenbakiaren aurkakoa 40 da.

$$x=\frac{40±10\sqrt{33}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 2 bider -1.

$$x=\frac{40±10\sqrt{33}}{-2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{40±10\sqrt{33}}{-2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 40 eta 10\sqrt{33}.

$$x=\frac{10\sqrt{33}+40}{-2}$$

Zatitu 40+10\sqrt{33} balioa -2 balioarekin.

$$x=-5\sqrt{33}-20$$

Orain, ebatzi x=\frac{40±10\sqrt{33}}{-2} ekuazioa ± minus denean. Egin 10\sqrt{33} ken 40.

$$x=\frac{40-10\sqrt{33}}{-2}$$

Zatitu 40-10\sqrt{33} balioa -2 balioarekin.

$$x=5\sqrt{33}-20$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-5\sqrt{33}-20 x=5\sqrt{33}-20$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -5,5 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-5\right)\left(x+5\right) balioarekin (x-5,x+5 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x+5\right)\times 20=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+5 eta 20 biderkatzeko.

$$20x+100=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-5 eta 60 biderkatzeko.

$$20x+100=60x-300+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Kasurako: \left(x-5\right)\left(x+5\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Egin 5 ber bi.

$$20x+100=60x-300+x^{2}-25$$

-325 lortzeko, -300 balioari kendu 25.

$$20x+100=60x-325+x^{2}$$

Kendu 60x bi aldeetatik.

$$20x+100-60x=-325+x^{2}$$

-40x lortzeko, konbinatu 20x eta -60x.

$$-40x+100=-325+x^{2}$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$-40x+100-x^{2}=-325$$

Kendu 100 bi aldeetatik.

$$-40x-x^{2}=-325-100$$

-425 lortzeko, -325 balioari kendu 100.

$$-40x-x^{2}=-425$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-x^{2}-40x=-425$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$\frac{-x^{2}-40x}{-1}=-\frac{425}{-1}$$

-1 balioarekin zatituz gero, -1 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{-1}\right)x=-\frac{425}{-1}$$

Zatitu -40 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}+40x=-\frac{425}{-1}$$

Zatitu -425 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}+40x=425$$

Zatitu 40 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta 20 lortuko duzu. Ondoren, gehitu 20 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+40x+20^{2}=425+20^{2}$$

Egin 20 ber bi.

$$x^{2}+40x+400=425+400$$

Gehitu 425 eta 400.

$$x^{2}+40x+400=825$$

Atera x^{2}+40x+400 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+20\right)^{2}=825$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+20\right)^{2}}=\sqrt{825}$$

Sinplifikatu.

$$x+20=5\sqrt{33} x+20=-5\sqrt{33}$$

Egin ken 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=5\sqrt{33}-20 x=-5\sqrt{33}-20$$