Resolver 2/x-3+3/x-2=3

$$\frac{ 2 }{ x-3 } + \frac{ 3 }{ x-2 } =3$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{7} + 10}{3} \approx 4.215250437$$

$$x = \frac{10 - \sqrt{7}}{3} \approx 2.45141623$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta 2,3 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-3\right)\left(x-2\right) balioarekin (x-3,x-2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-2 eta 2 biderkatzeko.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-3 eta 3 biderkatzeko.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

5x lortzeko, konbinatu 2x eta 3x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

-13 lortzeko, -4 balioari kendu 9.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x-3 biderkatzeko.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3x-9 eta x-2 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Kendu 3x^{2} bi aldeetatik.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Gehitu 15x bi aldeetan.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

20x lortzeko, konbinatu 5x eta 15x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Kendu 18 bi aldeetatik.

$$20x-13-3x^{2}-18=0$$

-31 lortzeko, -13 balioari kendu 18.

$$20x-31-3x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-3x^{2}+20x-31=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -3 balioa a balioarekin, 20 balioa b balioarekin, eta -31 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Egin 20 ber bi.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Egin -4 bider -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+12\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Egin 12 bider -31.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-372}}{2\left(-3\right)}$$

Gehitu 400 eta -372.

$$x=\frac{-20±\sqrt{28}}{2\left(-3\right)}$$

Atera 28 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Egin 2 bider -3.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -20 eta 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Zatitu -20+2\sqrt{7} balioa -6 balioarekin.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{7} ken -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Zatitu -20-2\sqrt{7} balioa -6 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3} x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta 2,3 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-3\right)\left(x-2\right) balioarekin (x-3,x-2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-2 eta 2 biderkatzeko.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-3 eta 3 biderkatzeko.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

5x lortzeko, konbinatu 2x eta 3x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

-13 lortzeko, -4 balioari kendu 9.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x-3 biderkatzeko.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3x-9 eta x-2 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Kendu 3x^{2} bi aldeetatik.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Gehitu 15x bi aldeetan.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

20x lortzeko, konbinatu 5x eta 15x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Gehitu 13 bi aldeetan.

$$20x-3x^{2}=18+13$$

31 lortzeko, gehitu 18 eta 13.

$$20x-3x^{2}=31$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-3x^{2}+20x=31$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$\frac{-3x^{2}+20x}{-3}=\frac{31}{-3}$$

-3 balioarekin zatituz gero, -3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{20}{-3}x=\frac{31}{-3}$$

Zatitu 20 balioa -3 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=\frac{31}{-3}$$

Zatitu 31 balioa -3 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{31}{3}$$

Zatitu -\frac{20}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{10}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{10}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{31}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{10}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{31}{3}+\frac{100}{9}$$

Gehitu -\frac{31}{3} eta \frac{100}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{7}{9}$$

Atera x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Gehitu \frac{10}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$