Resolver 1/6(4x+5)-2/3(2x+7)=3

$$\frac{ 1 }{ 6 } (4x+5) \frac{ -2 }{ 3 } (2x+7)=3$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}\approx -2.375+1.452368755i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}\approx -2.375-1.452368755i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\frac{-2}{3} zatikia -\frac{2}{3} gisa ere idatz daiteke, ikur negatiboa kenduta.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=3$$

-\frac{1}{9} lortzeko, biderkatu \frac{1}{6} eta -\frac{2}{3}.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=3$$

Erabili banaketa-propietatea -\frac{1}{9} eta 4x+5 biderkatzeko.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=3$$

Erabili banaketa-propietatea -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} eta 2x+7 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=3$$

Kendu 3 bi aldeetatik.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}-3=0$$

-\frac{62}{9} lortzeko, -\frac{35}{9} balioari kendu 3.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{62}{9}=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -\frac{8}{9} balioa a balioarekin, -\frac{38}{9} balioa b balioarekin, eta -\frac{62}{9} balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{38}{9}\right)^{2}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Egin -\frac{38}{9} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Egin -4 bider -\frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}+\frac{32}{9}\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Egin \frac{32}{9} bider -\frac{62}{9}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444-1984}{81}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Gehitu \frac{1444}{81} eta -\frac{1984}{81} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{-\frac{20}{3}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Atera -\frac{20}{3} balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

-\frac{38}{9} zenbakiaren aurkakoa \frac{38}{9} da.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Egin 2 bider -\frac{8}{9}.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}}$$

Orain, ebatzi x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}} ekuazioa ± plus denean. Gehitu \frac{38}{9} eta \frac{2i\sqrt{15}}{3}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{15}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

Zatitu \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{15}}{3} balioa -\frac{16}{9} frakzioarekin, \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{15}}{3} balioa -\frac{16}{9} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}} ekuazioa ± minus denean. Egin \frac{2i\sqrt{15}}{3} ken \frac{38}{9}.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{15}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

Zatitu \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{15}}{3} balioa -\frac{16}{9} frakzioarekin, \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{15}}{3} balioa -\frac{16}{9} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8} x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}$$

Karratua osatzeko urratsak

\frac{-2}{3} zatikia -\frac{2}{3} gisa ere idatz daiteke, ikur negatiboa kenduta.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=3$$

-\frac{1}{9} lortzeko, biderkatu \frac{1}{6} eta -\frac{2}{3}.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=3$$

Erabili banaketa-propietatea -\frac{1}{9} eta 4x+5 biderkatzeko.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=3$$

Erabili banaketa-propietatea -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} eta 2x+7 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=3$$

Gehitu \frac{35}{9} bi aldeetan.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=3+\frac{35}{9}$$

\frac{62}{9} lortzeko, gehitu 3 eta \frac{35}{9}.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=\frac{62}{9}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{8}{9} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$\frac{-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x}{-\frac{8}{9}}=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

-\frac{8}{9} balioarekin zatituz gero, -\frac{8}{9} balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{38}{9}}{-\frac{8}{9}}\right)x=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

Zatitu -\frac{38}{9} balioa -\frac{8}{9} frakzioarekin, -\frac{38}{9} balioa -\frac{8}{9} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

Zatitu \frac{62}{9} balioa -\frac{8}{9} frakzioarekin, \frac{62}{9} balioa -\frac{8}{9} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=-\frac{31}{4}$$

Zatitu \frac{19}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{19}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{19}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{31}{4}+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}$$

Egin \frac{19}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{31}{4}+\frac{361}{64}$$

Gehitu -\frac{31}{4} eta \frac{361}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{135}{64}$$

Atera x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{135}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{19}{8}=\frac{3\sqrt{15}i}{8} x+\frac{19}{8}=-\frac{3\sqrt{15}i}{8}$$

Egin ken \frac{19}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}$$