Resolver 1/6left(4x+5right)-2/3left(2x+7right)=3/2

$$\frac{ 1 }{ 6 } \left( 4x+5 \right) \frac{ -2 }{ 3 } \left( 2x+7 \right) = \frac{ 3 }{ 2 }$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-19+3\sqrt{3}i}{8}\approx -2.375+0.649519053i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-19}{8}\approx -2.375-0.649519053i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\frac{-2}{3} zatikia -\frac{2}{3} gisa ere idatz daiteke, ikur negatiboa kenduta.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=\frac{3}{2}$$

-\frac{1}{9} lortzeko, biderkatu \frac{1}{6} eta -\frac{2}{3}.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=\frac{3}{2}$$

Erabili banaketa-propietatea -\frac{1}{9} eta 4x+5 biderkatzeko.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=\frac{3}{2}$$

Erabili banaketa-propietatea -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} eta 2x+7 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=\frac{3}{2}$$

Kendu \frac{3}{2} bi aldeetatik.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}-\frac{3}{2}=0$$

-\frac{97}{18} lortzeko, -\frac{35}{9} balioari kendu \frac{3}{2}.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{97}{18}=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -\frac{8}{9} balioa a balioarekin, -\frac{38}{9} balioa b balioarekin, eta -\frac{97}{18} balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{38}{9}\right)^{2}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{97}{18}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Egin -\frac{38}{9} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{97}{18}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Egin -4 bider -\frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}+\frac{32}{9}\left(-\frac{97}{18}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Egin \frac{32}{9} bider -\frac{97}{18}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444-1552}{81}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Gehitu \frac{1444}{81} eta -\frac{1552}{81} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{-\frac{4}{3}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Atera -\frac{4}{3} balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\frac{2\sqrt{3}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

-\frac{38}{9} zenbakiaren aurkakoa \frac{38}{9} da.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{3}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Egin 2 bider -\frac{8}{9}.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{3}i}{3}}{-\frac{16}{9}}$$

Orain, ebatzi x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{3}i}{3}}{-\frac{16}{9}} ekuazioa ± plus denean. Gehitu \frac{38}{9} eta \frac{2i\sqrt{3}}{3}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{3}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

Zatitu \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{3}}{3} balioa -\frac{16}{9} frakzioarekin, \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{3}}{3} balioa -\frac{16}{9} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-19}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{3}i}{3}}{-\frac{16}{9}} ekuazioa ± minus denean. Egin \frac{2i\sqrt{3}}{3} ken \frac{38}{9}.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{3}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

Zatitu \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{3}}{3} balioa -\frac{16}{9} frakzioarekin, \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{3}}{3} balioa -\frac{16}{9} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{3}i}{8}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-19}{8} x=\frac{-19+3\sqrt{3}i}{8}$$

Karratua osatzeko urratsak

\frac{-2}{3} zatikia -\frac{2}{3} gisa ere idatz daiteke, ikur negatiboa kenduta.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=\frac{3}{2}$$

-\frac{1}{9} lortzeko, biderkatu \frac{1}{6} eta -\frac{2}{3}.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=\frac{3}{2}$$

Erabili banaketa-propietatea -\frac{1}{9} eta 4x+5 biderkatzeko.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=\frac{3}{2}$$

Erabili banaketa-propietatea -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} eta 2x+7 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=\frac{3}{2}$$

Gehitu \frac{35}{9} bi aldeetan.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=\frac{3}{2}+\frac{35}{9}$$

\frac{97}{18} lortzeko, gehitu \frac{3}{2} eta \frac{35}{9}.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=\frac{97}{18}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{8}{9} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$\frac{-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x}{-\frac{8}{9}}=\frac{\frac{97}{18}}{-\frac{8}{9}}$$

-\frac{8}{9} balioarekin zatituz gero, -\frac{8}{9} balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{38}{9}}{-\frac{8}{9}}\right)x=\frac{\frac{97}{18}}{-\frac{8}{9}}$$

Zatitu -\frac{38}{9} balioa -\frac{8}{9} frakzioarekin, -\frac{38}{9} balioa -\frac{8}{9} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=\frac{\frac{97}{18}}{-\frac{8}{9}}$$

Zatitu \frac{97}{18} balioa -\frac{8}{9} frakzioarekin, \frac{97}{18} balioa -\frac{8}{9} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=-\frac{97}{16}$$

Zatitu \frac{19}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{19}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{19}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{97}{16}+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}$$

Egin \frac{19}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{97}{16}+\frac{361}{64}$$

Gehitu -\frac{97}{16} eta \frac{361}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{27}{64}$$

Atera x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{27}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{27}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{19}{8}=\frac{3\sqrt{3}i}{8} x+\frac{19}{8}=-\frac{3\sqrt{3}i}{8}$$

Egin ken \frac{19}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{3}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{3}i-19}{8}$$