Resolver frac{sqrt{5}+sqrt{3}}{sqrt{5}-sqrt{3}}-frac{sqrt{5}-sqrt{3}}{sqrt{5}+sqrt{3}}=2sqrt{15}

$$\frac{ \sqrt{ 5 } + \sqrt{ 3 } }{ \sqrt{ 5 } - \sqrt{ 3 } } - \frac{ \sqrt{ 5 } - \sqrt{ 3 } }{ \sqrt{ 5 } + \sqrt{ 3 } } = 2 \sqrt{ 15 }$$

Egiaztatu

Ebazpidea

Adierazi \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} balioaren izendatzailea zenbaki arrazional gisa. Horretarako, egin zenbakitzailea eta izendatzailea bider \sqrt{5}+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Kasurako: \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Egin \sqrt{5} ber bi. Egin \sqrt{3} ber bi.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{5-3}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

2 lortzeko, 5 balioari kendu 3.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2} lortzeko, biderkatu \sqrt{5}+\sqrt{3} eta \sqrt{5}+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

\sqrt{5} zenbakiaren karratua 5 da.

$$\frac{5+2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

\sqrt{5} eta \sqrt{3} biderkatzeko, biderkatu erro karratuaren azpiko zenbakiak.

$$\frac{5+2\sqrt{15}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

\sqrt{3} zenbakiaren karratua 3 da.

$$\frac{5+2\sqrt{15}+3}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

8 lortzeko, gehitu 5 eta 3.

$$\frac{8+2\sqrt{15}}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Zatitu 8+2\sqrt{15} ekuazioko gai bakoitza 2 balioarekin, 4+\sqrt{15} lortzeko.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Adierazi \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} balioaren izendatzailea zenbaki arrazional gisa. Horretarako, egin zenbakitzailea eta izendatzailea bider \sqrt{5}-\sqrt{3}.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}=2\sqrt{15}$$

Kasurako: \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=2\sqrt{15}$$

Egin \sqrt{5} ber bi. Egin \sqrt{3} ber bi.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{5-3}=2\sqrt{15}$$

2 lortzeko, 5 balioari kendu 3.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{2}=2\sqrt{15}$$

\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2} lortzeko, biderkatu \sqrt{5}-\sqrt{3} eta \sqrt{5}-\sqrt{3}.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{2}=2\sqrt{15}$$

\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}=2\sqrt{15}$$

\sqrt{5} zenbakiaren karratua 5 da.

$$4+\sqrt{15}-\frac{5-2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}=2\sqrt{15}$$

\sqrt{5} eta \sqrt{3} biderkatzeko, biderkatu erro karratuaren azpiko zenbakiak.

$$4+\sqrt{15}-\frac{5-2\sqrt{15}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}=2\sqrt{15}$$

\sqrt{3} zenbakiaren karratua 3 da.

$$4+\sqrt{15}-\frac{5-2\sqrt{15}+3}{2}=2\sqrt{15}$$

8 lortzeko, gehitu 5 eta 3.

$$4+\sqrt{15}-\frac{8-2\sqrt{15}}{2}=2\sqrt{15}$$

Zatitu 8-2\sqrt{15} ekuazioko gai bakoitza 2 balioarekin, 4-\sqrt{15} lortzeko.

$$4+\sqrt{15}-\left(4-\sqrt{15}\right)=2\sqrt{15}$$

4-\sqrt{15} funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$4+\sqrt{15}-4-\left(-\sqrt{15}\right)=2\sqrt{15}$$

-\sqrt{15} zenbakiaren aurkakoa \sqrt{15} da.

$$4+\sqrt{15}-4+\sqrt{15}=2\sqrt{15}$$

0 lortzeko, 4 balioari kendu 4.

$$\sqrt{15}+\sqrt{15}=2\sqrt{15}$$

2\sqrt{15} lortzeko, konbinatu \sqrt{15} eta \sqrt{15}.

$$2\sqrt{15}=2\sqrt{15}$$

Kendu 2\sqrt{15} bi aldeetatik.

$$2\sqrt{15}-2\sqrt{15}=0$$

0 lortzeko, konbinatu 2\sqrt{15} eta -2\sqrt{15}.

$$0=0$$

Konparatu0 eta 0.

$$\text{true}$$