Resolver x/x+1+x+1/x=13/6

$$\frac { x } { x + 1 } + \frac { x + 1 } { x } = \frac { 13 } { 6 }$$

Ebatzi: x

$$x=-3$$

$$x=2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

x aldagaia eta -1,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6x\left(x+1\right) balioarekin (x+1,x,6 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

x^{2} lortzeko, biderkatu x eta x.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 6x+6 eta x+1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

12x^{2} lortzeko, konbinatu 6x^{2} eta 6x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 13x eta x+1 biderkatzeko.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Kendu 13x^{2} bi aldeetatik.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

-x^{2} lortzeko, konbinatu 12x^{2} eta -13x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Kendu 13x bi aldeetatik.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

-x lortzeko, konbinatu 12x eta -13x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -x^{2}+ax+bx+6 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-1 ab=-6=-6$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -6 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-6 2,-3$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

-1 batura duen parea da soluzioa.

$$a=2 b=-3$$

Berridatzi -x^{2}-x+6 honela: \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$x\left(-x+2\right)+3\left(-x+2\right)$$

Deskonposatu -x+2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(-x+2\right)\left(x+3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi -x+2=0 eta x+3=0.

$$x=2 x=-3$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -1,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6x\left(x+1\right) balioarekin (x+1,x,6 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

x^{2} lortzeko, biderkatu x eta x.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 6x+6 eta x+1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

12x^{2} lortzeko, konbinatu 6x^{2} eta 6x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 13x eta x+1 biderkatzeko.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Kendu 13x^{2} bi aldeetatik.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

-x^{2} lortzeko, konbinatu 12x^{2} eta -13x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Kendu 13x bi aldeetatik.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

-x lortzeko, konbinatu 12x eta -13x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -1 balioa a balioarekin, -1 balioa b balioarekin, eta 6 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -4 bider -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 4 bider 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\left(-1\right)}$$

Gehitu 1 eta 24.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Atera 25 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\left(-1\right)}$$

-1 zenbakiaren aurkakoa 1 da.

$$x=\frac{1±5}{2\left(-1\right)}$$

Egin 2 bider -1.

$$x=\frac{1±5}{-2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±5}{-2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 1 eta 5.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Zatitu 6 balioa -2 balioarekin.

$$x=-3$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±5}{-2} ekuazioa ± minus denean. Egin 5 ken 1.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Zatitu -4 balioa -2 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-3 x=2$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -1,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6x\left(x+1\right) balioarekin (x+1,x,6 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

x^{2} lortzeko, biderkatu x eta x.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 6x+6 eta x+1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

12x^{2} lortzeko, konbinatu 6x^{2} eta 6x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 13x eta x+1 biderkatzeko.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Kendu 13x^{2} bi aldeetatik.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

-x^{2} lortzeko, konbinatu 12x^{2} eta -13x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Kendu 13x bi aldeetatik.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

-x lortzeko, konbinatu 12x eta -13x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Kendu 6 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$-x^{2}-x=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=-\frac{6}{-1}$$

-1 balioarekin zatituz gero, -1 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=-\frac{6}{-1}$$

Zatitu -1 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}+x=-\frac{6}{-1}$$

Zatitu -6 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}+x=6$$

Zatitu 1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=6+\frac{1}{4}$$

Gehitu 6 eta \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$$

Atera x^{2}+x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$$

Egin ken \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=2 x=-3$$