Resolver x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Ebatzi: x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 21 balioarekin (7,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3x+7y=105$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 14.

$$-x+42y=364$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+7y=105$$

Egin ken 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-7y+105$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Ordeztu -\frac{7y}{3}+35 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x+42y=364).

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Egin -1 bider -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Gehitu \frac{7y}{3} eta 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Gehitu 35 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{133}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=9$$

Ordeztu 9 y balioarekin x=-\frac{7}{3}y+35 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Egin -\frac{7}{3} bider 9.

$$x=-21+35$$

Gehitu 35 eta -21.

$$x=14$$

Ebatzi da sistema.

$$x=14,y=9$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 21 balioarekin (7,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3x+7y=105$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 14.

$$-x+42y=364$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=14,y=9$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 21 balioarekin (7,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3x+7y=105$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 14.

$$-x+42y=364$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

3x eta -x berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Sinplifikatu.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Egin -3x+126y=1092 ken -3x-7y=-105 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Gehitu -3x eta 3x. Sinplifikatu egiten dira -3x eta 3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Gehitu -7y eta -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Gehitu -105 eta -1092.

$$-133y=-1197$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -133 balioarekin.

$$y=9$$

Ordeztu 9 y balioarekin -x+42y=364 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-x+42\times 9=364$$

Egin 42 bider 9.

$$-x+378=364$$

Egin ken 378 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=14$$

Ebatzi da sistema.

$$x=14,y=9$$