Resolver x^2-2/x^2+x-2+3x+2/x^2-4=1-x+2/x^2-3x+2

$$\frac { x ^ { 2 } - 2 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 3 x + 2 } { x ^ { 2 } - 4 } = 1 - \frac { x + 2 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 }$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=-1$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

x aldagaia eta -2,1,2 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right) balioarekin (x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

\left(x+2\right)^{2} lortzeko, biderkatu x+2 eta x+2.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea x-2 eta x^{2}-2 biderkatzeko.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea x-1 eta 3x+2 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

x^{2} lortzeko, konbinatu -2x^{2} eta 3x^{2}.

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

-3x lortzeko, konbinatu -2x eta -x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

2 lortzeko, 4 balioari kendu 2.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea x-2 eta x-1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea x^{2}-3x+2 eta x+2 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

\left(x+2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

x^{2}+4x+4 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

-2x^{2} lortzeko, konbinatu -x^{2} eta -x^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

-8x lortzeko, konbinatu -4x eta -4x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

0 lortzeko, 4 balioari kendu 4.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

Kendu x^{3} bi aldeetatik.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

0 lortzeko, konbinatu x^{3} eta -x^{3}.

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

Gehitu 2x^{2} bi aldeetan.

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

3x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta 2x^{2}.

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

Gehitu 8x bi aldeetan.

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

5x lortzeko, konbinatu -3x eta 8x.

$$5x+3x^{2}+2=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$3x^{2}+5x+2=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3x^{2}+ax+bx+2 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=5 ab=3\times 2=6$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 6 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,6 2,3$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+6=7 2+3=5$$

5 batura duen parea da soluzioa.

$$a=2 b=3$$

Berridatzi 3x^{2}+5x+2 honela: \left(3x^{2}+2x\right)+\left(3x+2\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(3x+2\right)$$

Deskonposatu x 3x^{2}+2x taldean.

$$x\left(3x+2\right)+3x+2$$

Deskonposatu 3x+2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3x+2\right)\left(x+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 3x+2=0 eta x+1=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -2,1,2 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right) balioarekin (x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

\left(x+2\right)^{2} lortzeko, biderkatu x+2 eta x+2.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea x-2 eta x^{2}-2 biderkatzeko.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea x-1 eta 3x+2 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

x^{2} lortzeko, konbinatu -2x^{2} eta 3x^{2}.

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

-3x lortzeko, konbinatu -2x eta -x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

2 lortzeko, 4 balioari kendu 2.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea x-2 eta x-1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea x^{2}-3x+2 eta x+2 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

\left(x+2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

x^{2}+4x+4 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

-2x^{2} lortzeko, konbinatu -x^{2} eta -x^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

-8x lortzeko, konbinatu -4x eta -4x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

0 lortzeko, 4 balioari kendu 4.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

Kendu x^{3} bi aldeetatik.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

0 lortzeko, konbinatu x^{3} eta -x^{3}.

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

Gehitu 2x^{2} bi aldeetan.

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

3x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta 2x^{2}.

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

Gehitu 8x bi aldeetan.

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

5x lortzeko, konbinatu -3x eta 8x.

$$5x+3x^{2}+2=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$3x^{2}+5x+2=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, 5 balioa b balioarekin, eta 2 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Egin 5 ber bi.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Egin -4 bider 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 2}}{2\times 3}$$

Egin -12 bider 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\times 3}$$

Gehitu 25 eta -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Atera 1 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-5±1}{2\times 3}$$

Egin 2 bider 3.

$$x=\frac{-5±1}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±1}{6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -5 eta 1.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Murriztu \frac{-4}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±1}{6} ekuazioa ± minus denean. Egin 1 ken -5.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Zatitu -6 balioa 6 balioarekin.

$$x=-1$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -2,1,2 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right) balioarekin (x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

\left(x+2\right)^{2} lortzeko, biderkatu x+2 eta x+2.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea x-2 eta x^{2}-2 biderkatzeko.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea x-1 eta 3x+2 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

x^{2} lortzeko, konbinatu -2x^{2} eta 3x^{2}.

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

-3x lortzeko, konbinatu -2x eta -x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

2 lortzeko, 4 balioari kendu 2.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea x-2 eta x-1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea x^{2}-3x+2 eta x+2 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

\left(x+2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

x^{2}+4x+4 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

-2x^{2} lortzeko, konbinatu -x^{2} eta -x^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

-8x lortzeko, konbinatu -4x eta -4x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

0 lortzeko, 4 balioari kendu 4.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

Kendu x^{3} bi aldeetatik.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

0 lortzeko, konbinatu x^{3} eta -x^{3}.

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

Gehitu 2x^{2} bi aldeetan.

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

3x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta 2x^{2}.

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

Gehitu 8x bi aldeetan.

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

5x lortzeko, konbinatu -3x eta 8x.

$$5x+3x^{2}+2=0$$

Kendu 2 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$5x+3x^{2}=-2$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$3x^{2}+5x=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{2}{3}$$

3 balioarekin zatituz gero, 3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Zatitu \frac{5}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{5}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{5}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Egin \frac{5}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$$

Gehitu -\frac{2}{3} eta \frac{25}{36} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{36}$$

Atera x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{1}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}$$

Egin ken \frac{5}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$