Resolver x^2/9-4/3x=-2

$$\frac { x ^ { 2 } } { 9 } - \frac { 4 } { 3 } x = - 2$$

Ebatzi: x

$$x=3\sqrt{2}+6\approx 10.242640687$$

$$x=6-3\sqrt{2}\approx 1.757359313$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=-2-\left(-2\right)$$

-2 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=0$$

Egin -2 ken 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x+2=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu \frac{1}{9} balioa a balioarekin, -\frac{4}{3} balioa b balioarekin, eta 2 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Egin -\frac{4}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Egin -4 bider \frac{1}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-\frac{4}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Egin -\frac{4}{9} bider 2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16-8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Gehitu \frac{16}{9} eta -\frac{8}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Atera \frac{8}{9} balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

-\frac{4}{3} zenbakiaren aurkakoa \frac{4}{3} da.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Egin 2 bider \frac{1}{9}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}$$

Orain, ebatzi x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}} ekuazioa ± plus denean. Gehitu \frac{4}{3} eta \frac{2\sqrt{2}}{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+4}{\frac{2}{9}\times 3}$$

Zatitu \frac{4+2\sqrt{2}}{3} balioa \frac{2}{9} frakzioarekin, \frac{4+2\sqrt{2}}{3} balioa \frac{2}{9} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x=3\sqrt{2}+6$$

Orain, ebatzi x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}} ekuazioa ± minus denean. Egin \frac{2\sqrt{2}}{3} ken \frac{4}{3}.

$$x=\frac{4-2\sqrt{2}}{\frac{2}{9}\times 3}$$

Zatitu \frac{4-2\sqrt{2}}{3} balioa \frac{2}{9} frakzioarekin, \frac{4-2\sqrt{2}}{3} balioa \frac{2}{9} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x=6-3\sqrt{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$\frac{\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x}{\frac{1}{9}}=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

\frac{1}{9} balioarekin zatituz gero, \frac{1}{9} balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{9}}\right)x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Zatitu -\frac{4}{3} balioa \frac{1}{9} frakzioarekin, -\frac{4}{3} balioa \frac{1}{9} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}-12x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Zatitu -2 balioa \frac{1}{9} frakzioarekin, -2 balioa \frac{1}{9} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}-12x=-18$$

Zatitu -12 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -6 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -6 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-18+\left(-6\right)^{2}$$

Egin -6 ber bi.

$$x^{2}-12x+36=-18+36$$

Gehitu -18 eta 36.

$$x^{2}-12x+36=18$$

Atera x^{2}-12x+36 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-6\right)^{2}=18$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{18}$$

Sinplifikatu.

$$x-6=3\sqrt{2} x-6=-3\sqrt{2}$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$