Resolver x^2/4-x+5=0

$$\frac { x ^ { 2 } } { 4 } - x + 5 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=2+4i$$

$$x=2-4i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$\frac{1}{4}x^{2}-x+5=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu \frac{1}{4} balioa a balioarekin, -1 balioa b balioarekin, eta 5 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times \frac{1}{4}\times 5}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Egin -4 bider \frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-5}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Gehitu 1 eta -5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-4}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Atera -4 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±2i}{2\times \frac{1}{4}}$$

-1 zenbakiaren aurkakoa 1 da.

$$x=\frac{1±2i}{2\times \frac{1}{4}}$$

Egin 2 bider \frac{1}{4}.

$$x=\frac{1±2i}{\frac{1}{2}}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±2i}{\frac{1}{2}} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 1 eta 2i.

$$x=\frac{1+2i}{\frac{1}{2}}$$

Zatitu 1+2i balioa \frac{1}{2} frakzioarekin, 1+2i balioa \frac{1}{2} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x=2+4i$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±2i}{\frac{1}{2}} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i ken 1.

$$x=\frac{1-2i}{\frac{1}{2}}$$

Zatitu 1-2i balioa \frac{1}{2} frakzioarekin, 1-2i balioa \frac{1}{2} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x=2-4i$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=2+4i x=2-4i$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$\frac{1}{4}x^{2}-x+5=0$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{4}x^{2}-x+5-5=-5$$

5 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$\frac{1}{4}x^{2}-x=-5$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{\frac{1}{4}x^{2}-x}{\frac{1}{4}}=-\frac{5}{\frac{1}{4}}$$

\frac{1}{4} balioarekin zatituz gero, \frac{1}{4} balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{\frac{1}{4}}\right)x=-\frac{5}{\frac{1}{4}}$$

Zatitu -1 balioa \frac{1}{4} frakzioarekin, -1 balioa \frac{1}{4} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}-4x=-\frac{5}{\frac{1}{4}}$$

Zatitu -5 balioa \frac{1}{4} frakzioarekin, -5 balioa \frac{1}{4} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}-4x=-20$$

Zatitu -4 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -2 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -2 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-20+\left(-2\right)^{2}$$

Egin -2 ber bi.

$$x^{2}-4x+4=-20+4$$

Gehitu -20 eta 4.

$$x^{2}-4x+4=-16$$

Atera x^{2}-4x+4 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-2\right)^{2}=-16$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-16}$$

Sinplifikatu.

$$x-2=4i x-2=-4i$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=2+4i x=2-4i$$