Resolver x+9/x+16x/x+9=8

$$\frac { x + 9 } { x } + \frac { 16 x } { x + 9 } = 8$$

Ebatzi: x

$$x=3$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

x aldagaia eta -9,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak x\left(x+9\right) balioarekin (x,x+9 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

\left(x+9\right)^{2} lortzeko, biderkatu x+9 eta x+9.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

\left(x+9\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

x^{2} lortzeko, biderkatu x eta x.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

17x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta x^{2}\times 16.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 8x eta x+9 biderkatzeko.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Kendu 8x^{2} bi aldeetatik.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

9x^{2} lortzeko, konbinatu 17x^{2} eta -8x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Kendu 72x bi aldeetatik.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

-54x lortzeko, konbinatu 18x eta -72x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, x^{2}+ax+bx+9 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-6 ab=1\times 9=9$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 9 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-9 -3,-3$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

-6 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-3 b=-3$$

Berridatzi x^{2}-6x+9 honela: \left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta -3 bigarren taldean.

$$x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Deskonposatu x-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)$$

Berridatzi karratu binomial gisa.

$$\left(x-3\right)^{2}$$

Ekuazioaren soluzioa aurkitzeko, ebatzi x-3=0.

$$x=3$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -9,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak x\left(x+9\right) balioarekin (x,x+9 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

\left(x+9\right)^{2} lortzeko, biderkatu x+9 eta x+9.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

\left(x+9\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

x^{2} lortzeko, biderkatu x eta x.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

17x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta x^{2}\times 16.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 8x eta x+9 biderkatzeko.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Kendu 8x^{2} bi aldeetatik.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

9x^{2} lortzeko, konbinatu 17x^{2} eta -8x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Kendu 72x bi aldeetatik.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

-54x lortzeko, konbinatu 18x eta -72x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 9 balioa a balioarekin, -54 balioa b balioarekin, eta 81 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Egin -54 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Egin -4 bider 9.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-36\times 81}}{2\times 9}$$

Egin -36 bider 81.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-2916}}{2\times 9}$$

Gehitu 2916 eta -2916.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Atera 0 balioaren erro karratua.

$$x=-\frac{-54}{2\times 9}$$

-54 zenbakiaren aurkakoa 54 da.

$$x=\frac{54}{2\times 9}$$

Egin 2 bider 9.

$$x=\frac{54}{18}$$

Zatitu 54 balioa 18 balioarekin.

$$x=3$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -9,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak x\left(x+9\right) balioarekin (x,x+9 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

\left(x+9\right)^{2} lortzeko, biderkatu x+9 eta x+9.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

\left(x+9\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

x^{2} lortzeko, biderkatu x eta x.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

17x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta x^{2}\times 16.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 8x eta x+9 biderkatzeko.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Kendu 8x^{2} bi aldeetatik.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

9x^{2} lortzeko, konbinatu 17x^{2} eta -8x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Kendu 72x bi aldeetatik.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

-54x lortzeko, konbinatu 18x eta -72x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Kendu 81 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$9x^{2}-54x=-81$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$\frac{9x^{2}-54x}{9}=-\frac{81}{9}$$

9 balioarekin zatituz gero, 9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{54}{9}\right)x=-\frac{81}{9}$$

Zatitu -54 balioa 9 balioarekin.

$$x^{2}-6x=-\frac{81}{9}$$

Zatitu -81 balioa 9 balioarekin.

$$x^{2}-6x=-9$$

Zatitu -6 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -3 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -3 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-9+\left(-3\right)^{2}$$

Egin -3 ber bi.

$$x^{2}-6x+9=-9+9$$

Gehitu -9 eta 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Atera x^{2}-6x+9 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sinplifikatu.

$$x-3=0 x-3=0$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3 x=3$$

Ebatzi da ekuazioa. Soluzioak berdinak dira.

$$x=3$$