Resolver u+2/u-4-1=u+1/u-3

$$\frac { u + 2 } { u - 4 } - 1 = \frac { u + 1 } { u - 3 }$$

Ebatzi: u

$$u=2$$

$$u=7$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

u aldagaia eta 3,4 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(u-4\right)\left(u-3\right) balioarekin (u-4,u-3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(u-3\right)\left(u+2\right)+\left(u-4\right)\left(u-3\right)\left(-1\right)=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea u-3 eta u+2 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$u^{2}-u-6+\left(u-4\right)\left(u-3\right)\left(-1\right)=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea u-4 eta u-3 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$u^{2}-u-6+\left(u^{2}-7u+12\right)\left(-1\right)=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea u^{2}-7u+12 eta -1 biderkatzeko.

$$u^{2}-u-6-u^{2}+7u-12=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

0 lortzeko, konbinatu u^{2} eta -u^{2}.

$$-u-6+7u-12=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

6u lortzeko, konbinatu -u eta 7u.

$$6u-6-12=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

-18 lortzeko, -6 balioari kendu 12.

$$6u-18=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea u-4 eta u+1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$6u-18=u^{2}-3u-4$$

Kendu u^{2} bi aldeetatik.

$$6u-18-u^{2}=-3u-4$$

Gehitu 3u bi aldeetan.

$$6u-18-u^{2}+3u=-4$$

9u lortzeko, konbinatu 6u eta 3u.

$$9u-18-u^{2}=-4$$

Gehitu 4 bi aldeetan.

$$9u-18-u^{2}+4=0$$

-14 lortzeko, gehitu -18 eta 4.

$$9u-14-u^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-u^{2}+9u-14=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -1 balioa a balioarekin, 9 balioa b balioarekin, eta -14 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$u=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-1\right)\left(-14\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 9 ber bi.

$$u=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-1\right)\left(-14\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -4 bider -1.

$$u=\frac{-9±\sqrt{81+4\left(-14\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 4 bider -14.

$$u=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\left(-1\right)}$$

Gehitu 81 eta -56.

$$u=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Atera 25 balioaren erro karratua.

$$u=\frac{-9±5}{2\left(-1\right)}$$

Egin 2 bider -1.

$$u=\frac{-9±5}{-2}$$

Orain, ebatzi u=\frac{-9±5}{-2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -9 eta 5.

$$u=-\frac{4}{-2}$$

Zatitu -4 balioa -2 balioarekin.

$$u=2$$

Orain, ebatzi u=\frac{-9±5}{-2} ekuazioa ± minus denean. Egin 5 ken -9.

$$u=-\frac{14}{-2}$$

Zatitu -14 balioa -2 balioarekin.

$$u=7$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$u=2 u=7$$

Karratua osatzeko urratsak

u aldagaia eta 3,4 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(u-4\right)\left(u-3\right) balioarekin (u-4,u-3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(u-3\right)\left(u+2\right)+\left(u-4\right)\left(u-3\right)\left(-1\right)=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea u-3 eta u+2 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$u^{2}-u-6+\left(u-4\right)\left(u-3\right)\left(-1\right)=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea u-4 eta u-3 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$u^{2}-u-6+\left(u^{2}-7u+12\right)\left(-1\right)=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea u^{2}-7u+12 eta -1 biderkatzeko.

$$u^{2}-u-6-u^{2}+7u-12=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

0 lortzeko, konbinatu u^{2} eta -u^{2}.

$$-u-6+7u-12=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

6u lortzeko, konbinatu -u eta 7u.

$$6u-6-12=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

-18 lortzeko, -6 balioari kendu 12.

$$6u-18=\left(u-4\right)\left(u+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea u-4 eta u+1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$6u-18=u^{2}-3u-4$$

Kendu u^{2} bi aldeetatik.

$$6u-18-u^{2}=-3u-4$$

Gehitu 3u bi aldeetan.

$$6u-18-u^{2}+3u=-4$$

9u lortzeko, konbinatu 6u eta 3u.

$$9u-18-u^{2}=-4$$

Gehitu 18 bi aldeetan.

$$9u-u^{2}=-4+18$$

14 lortzeko, gehitu -4 eta 18.

$$9u-u^{2}=14$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-u^{2}+9u=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$\frac{-u^{2}+9u}{-1}=\frac{14}{-1}$$

-1 balioarekin zatituz gero, -1 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$u^{2}+\frac{9}{-1}u=\frac{14}{-1}$$

Zatitu 9 balioa -1 balioarekin.

$$u^{2}-9u=\frac{14}{-1}$$

Zatitu 14 balioa -1 balioarekin.

$$u^{2}-9u=-14$$

Zatitu -9 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{9}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{9}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$u^{2}-9u+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=-14+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{9}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$u^{2}-9u+\frac{81}{4}=-14+\frac{81}{4}$$

Gehitu -14 eta \frac{81}{4}.

$$u^{2}-9u+\frac{81}{4}=\frac{25}{4}$$

Atera u^{2}-9u+\frac{81}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(u-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(u-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$u-\frac{9}{2}=\frac{5}{2} u-\frac{9}{2}=-\frac{5}{2}$$

Gehitu \frac{9}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$u=7 u=2$$