Resolver p+5/p^2+p=1/p^2+p-p-6/p+1

$$\frac { p + 5 } { p ^ { 2 } + p } = \frac { 1 } { p ^ { 2 } + p } - \frac { p - 6 } { p + 1 }$$

Ebatzi: p

$$p=1$$

$$p=4$$

Faktorizazioa darabilten urratsak

p aldagaia eta -1,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak p\left(p+1\right) balioarekin (p^{2}+p,p+1 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

Erabili banaketa-propietatea p eta p-6 biderkatzeko.

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

p^{2}-6p funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

Kendu 1 bi aldeetatik.

$$p+5-1=-p^{2}+6p$$

4 lortzeko, 5 balioari kendu 1.

$$p+4=-p^{2}+6p$$

Gehitu p^{2} bi aldeetan.

$$p+4+p^{2}=6p$$

Kendu 6p bi aldeetatik.

$$p+4+p^{2}-6p=0$$

-5p lortzeko, konbinatu p eta -6p.

$$-5p+4+p^{2}=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$p^{2}-5p+4=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu p^{2}-5p+4 formula hau erabilita: p^{2}+\left(a+b\right)p+ab=\left(p+a\right)\left(p+b\right). a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-5 ab=4$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 4 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-4 -2,-2$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

-5 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-4 b=-1$$

Berridatzi faktorizatutako adierazpena (\left(p+a\right)\left(p+b\right)) lortutako balioak erabilita.

$$\left(p-4\right)\left(p-1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi p-4=0 eta p-1=0.

$$p=4 p=1$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

p aldagaia eta -1,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak p\left(p+1\right) balioarekin (p^{2}+p,p+1 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

Erabili banaketa-propietatea p eta p-6 biderkatzeko.

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

p^{2}-6p funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

Kendu 1 bi aldeetatik.

$$p+5-1=-p^{2}+6p$$

4 lortzeko, 5 balioari kendu 1.

$$p+4=-p^{2}+6p$$

Gehitu p^{2} bi aldeetan.

$$p+4+p^{2}=6p$$

Kendu 6p bi aldeetatik.

$$p+4+p^{2}-6p=0$$

-5p lortzeko, konbinatu p eta -6p.

$$-5p+4+p^{2}=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$p^{2}-5p+4=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, p^{2}+ap+bp+4 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-5 ab=1\times 4=4$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 4 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-4 -2,-2$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

-5 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-4 b=-1$$

Berridatzi p^{2}-5p+4 honela: \left(p^{2}-4p\right)+\left(-p+4\right).

$$\left(p^{2}-4p\right)+\left(-p+4\right)$$

Deskonposatu p lehen taldean, eta -1 bigarren taldean.

$$p\left(p-4\right)-\left(p-4\right)$$

Deskonposatu p-4 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(p-4\right)\left(p-1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi p-4=0 eta p-1=0.

$$p=4 p=1$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

p aldagaia eta -1,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak p\left(p+1\right) balioarekin (p^{2}+p,p+1 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

Erabili banaketa-propietatea p eta p-6 biderkatzeko.

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

p^{2}-6p funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

Kendu 1 bi aldeetatik.

$$p+5-1=-p^{2}+6p$$

4 lortzeko, 5 balioari kendu 1.

$$p+4=-p^{2}+6p$$

Gehitu p^{2} bi aldeetan.

$$p+4+p^{2}=6p$$

Kendu 6p bi aldeetatik.

$$p+4+p^{2}-6p=0$$

-5p lortzeko, konbinatu p eta -6p.

$$-5p+4+p^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$p^{2}-5p+4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -5 balioa b balioarekin, eta 4 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2}$$

Egin -5 ber bi.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2}$$

Egin -4 bider 4.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2}$$

Gehitu 25 eta -16.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Atera 9 balioaren erro karratua.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±3}{2}$$

-5 zenbakiaren aurkakoa 5 da.

$$p=\frac{5±3}{2}$$

Orain, ebatzi p=\frac{5±3}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 5 eta 3.

$$p=\frac{8}{2}$$

Zatitu 8 balioa 2 balioarekin.

$$p=4$$

Orain, ebatzi p=\frac{5±3}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin 3 ken 5.

$$p=\frac{2}{2}$$

Zatitu 2 balioa 2 balioarekin.

$$p=1$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$p=4 p=1$$

Karratua osatzeko urratsak

p aldagaia eta -1,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak p\left(p+1\right) balioarekin (p^{2}+p,p+1 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

Erabili banaketa-propietatea p eta p-6 biderkatzeko.

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

p^{2}-6p funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

Gehitu p^{2} bi aldeetan.

$$p+5+p^{2}=1+6p$$

Kendu 6p bi aldeetatik.

$$p+5+p^{2}-6p=1$$

-5p lortzeko, konbinatu p eta -6p.

$$-5p+5+p^{2}=1$$

Kendu 5 bi aldeetatik.

$$-5p+p^{2}=1-5$$

-4 lortzeko, 1 balioari kendu 5.

$$-5p+p^{2}=-4$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$p^{2}-5p=-4$$

Zatitu -5 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$p^{2}-5p+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$p^{2}-5p+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$$

Gehitu -4 eta \frac{25}{4}.

$$p^{2}-5p+\frac{25}{4}=\frac{9}{4}$$

Atera p^{2}-5p+\frac{25}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(p-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(p-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$p-\frac{5}{2}=\frac{3}{2} p-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$$

Gehitu \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$p=4 p=1$$