Resolver f/11=g/33text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

Ebatzi: f, g

$$f=10$$

$$g=30$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 33 balioarekin (11,33 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3f=g$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Ordeztu \frac{g}{3} balioa f balioarekin beste ekuazioan (f+g=40).

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Gehitu \frac{g}{3} eta g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{4}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$g=30$$

Ordeztu 30 g balioarekin f=\frac{1}{3}g ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, f ebatz dezakezu zuzenean.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Egin \frac{1}{3} bider 30.

$$f=10$$

Ebatzi da sistema.

$$f=10,g=30$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 33 balioarekin (11,33 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3f=g$$

Kendu g bi aldeetatik.

$$3f-g=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Atera f eta g matrize-elementuak.

$$f=10,g=30$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 33 balioarekin (11,33 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3f=g$$

Kendu g bi aldeetatik.

$$3f-g=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3f-g=0,f+g=40$$

3f eta f berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Sinplifikatu.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Egin 3f+3g=120 ken 3f-g=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Gehitu 3f eta -3f. Sinplifikatu egiten dira 3f eta -3f. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-g-3g=-120$$

Gehitu -g eta -3g.

$$-4g=-120$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$g=30$$

Ordeztu 30 g balioarekin f+g=40 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, f ebatz dezakezu zuzenean.

$$f+30=40$$

Egin ken 30 ekuazioaren bi aldeetan.

$$f=10$$

Ebatzi da sistema.

$$f=10,g=30$$