Resolver 75/x=75/x+15+1/4

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

Ebatzi: x

$$x=-75$$

$$x=60$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

x aldagaia eta -15,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4x\left(x+15\right) balioarekin (x,x+15,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Erabili banaketa-propietatea 4x+60 eta 75 biderkatzeko.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

300 lortzeko, biderkatu 4 eta 75.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

1 lortzeko, biderkatu 4 eta \frac{1}{4}.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x eta x+15 biderkatzeko.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

315x lortzeko, konbinatu 300x eta 15x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Kendu 315x bi aldeetatik.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

-15x lortzeko, konbinatu 300x eta -315x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -x^{2}+ax+bx+4500 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -4500 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

-15 batura duen parea da soluzioa.

$$a=60 b=-75$$

Berridatzi -x^{2}-15x+4500 honela: \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right).

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 75 bigarren taldean.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

Deskonposatu -x+60 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi -x+60=0 eta x+75=0.

$$x=60 x=-75$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -15,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4x\left(x+15\right) balioarekin (x,x+15,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Erabili banaketa-propietatea 4x+60 eta 75 biderkatzeko.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

300 lortzeko, biderkatu 4 eta 75.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

1 lortzeko, biderkatu 4 eta \frac{1}{4}.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x eta x+15 biderkatzeko.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

315x lortzeko, konbinatu 300x eta 15x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Kendu 315x bi aldeetatik.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

-15x lortzeko, konbinatu 300x eta -315x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -1 balioa a balioarekin, -15 balioa b balioarekin, eta 4500 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -15 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -4 bider -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 4 bider 4500.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

Gehitu 225 eta 18000.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

Atera 18225 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

-15 zenbakiaren aurkakoa 15 da.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

Egin 2 bider -1.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{15±135}{-2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 15 eta 135.

$$x=\frac{150}{-2}$$

Zatitu 150 balioa -2 balioarekin.

$$x=-75$$

Orain, ebatzi x=\frac{15±135}{-2} ekuazioa ± minus denean. Egin 135 ken 15.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

Zatitu -120 balioa -2 balioarekin.

$$x=60$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-75 x=60$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -15,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4x\left(x+15\right) balioarekin (x,x+15,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Erabili banaketa-propietatea 4x+60 eta 75 biderkatzeko.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

300 lortzeko, biderkatu 4 eta 75.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

1 lortzeko, biderkatu 4 eta \frac{1}{4}.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x eta x+15 biderkatzeko.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

315x lortzeko, konbinatu 300x eta 15x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Kendu 315x bi aldeetatik.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

-15x lortzeko, konbinatu 300x eta -315x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Kendu 4500 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

-1 balioarekin zatituz gero, -1 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

Zatitu -15 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

Zatitu -4500 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}+15x=4500$$

Zatitu 15 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{15}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{15}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{15}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

Gehitu 4500 eta \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

Atera x^{2}+15x+\frac{225}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

Egin ken \frac{15}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=60 x=-75$$