Resolver frac{6(k^{2}+1)^{2}-(3k^2-1)^2}{(3k^2+1)^2}=5/4

$$\frac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - ( 3 k ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { ( 3 k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 4 }$$

Ebatzi: k

$$k=-1$$

$$k=1$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4\left(3k^{2}+1\right)^{2} balioarekin (\left(3k^{2}+1\right)^{2},4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$4\left(6\left(k^{2}+1\right)^{2}-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

\left(k^{2}+1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4\left(6\left(\left(k^{2}\right)^{2}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Berretura bat berretzeko, biderkatu berretzaileak haien artean. 4 lortzeko, biderkatu 2 eta 2.

$$4\left(6\left(k^{4}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea 6 eta k^{4}+2k^{2}+1 biderkatzeko.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

\left(3k^{2}-1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9\left(k^{2}\right)^{2}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Berretura bat berretzeko, biderkatu berretzaileak haien artean. 4 lortzeko, biderkatu 2 eta 2.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9k^{4}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

9k^{4}-6k^{2}+1 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-9k^{4}+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

-3k^{4} lortzeko, konbinatu 6k^{4} eta -9k^{4}.

$$4\left(-3k^{4}+12k^{2}+6+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

18k^{2} lortzeko, konbinatu 12k^{2} eta 6k^{2}.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+6-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

5 lortzeko, 6 balioari kendu 1.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+5\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta -3k^{4}+18k^{2}+5 biderkatzeko.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

\left(3k^{2}+1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9\left(k^{2}\right)^{2}+6k^{2}+1\right)$$

Berretura bat berretzeko, biderkatu berretzaileak haien artean. 4 lortzeko, biderkatu 2 eta 2.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9k^{4}+6k^{2}+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 5 eta 9k^{4}+6k^{2}+1 biderkatzeko.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=45k^{4}+30k^{2}+5$$

Kendu 45k^{4} bi aldeetatik.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20-45k^{4}=30k^{2}+5$$

-57k^{4} lortzeko, konbinatu -12k^{4} eta -45k^{4}.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20=30k^{2}+5$$

Kendu 30k^{2} bi aldeetatik.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20-30k^{2}=5$$

42k^{2} lortzeko, konbinatu 72k^{2} eta -30k^{2}.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20=5$$

Kendu 5 bi aldeetatik.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20-5=0$$

15 lortzeko, 20 balioari kendu 5.

$$-57k^{4}+42k^{2}+15=0$$

Ordeztu t balioa k^{2} balioarekin.

$$-57t^{2}+42t+15=0$$

ax^{2}+bx+c=0 erako ekuazio guztiak formula koadratiko honen bidez ebatz daitezke: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ordeztu -57 balioa a balioarekin, 42 balioa b balioarekin, eta 15 balioa c balioarekin formula koadratikoan.

$$t=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\left(-57\right)\times 15}}{-57\times 2}$$

Egin kalkuluak.

$$t=\frac{-42±72}{-114}$$

Ebatzi t=\frac{-42±72}{-114} ekuazioa ± plus denean eta ± minus denean.

$$t=-\frac{5}{19} t=1$$

k=t^{2} denez, k=±\sqrt{t} ebaluatuz t positiborik dagoen egiaztatuz lortzen dira soluzioak.

$$k=1 k=-1$$