Resolver 57/16t^2-85/16t=-250

$$\frac { 57 } { 16 } t ^ { 2 } - \frac { 85 } { 16 } t = - 250$$

Ebatzi: t

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114}\approx 0.745614035+8.343829954i$$

$$t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}\approx 0.745614035-8.343829954i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t=-250$$

Gehitu 250 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t-\left(-250\right)=-250-\left(-250\right)$$

-250 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t-\left(-250\right)=0$$

Egin -250 ken 0.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t+250=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu \frac{57}{16} balioa a balioarekin, -\frac{85}{16} balioa b balioarekin, eta 250 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\left(-\frac{85}{16}\right)^{2}-4\times \frac{57}{16}\times 250}}{2\times \frac{57}{16}}$$

Egin -\frac{85}{16} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\frac{7225}{256}-4\times \frac{57}{16}\times 250}}{2\times \frac{57}{16}}$$

Egin -4 bider \frac{57}{16}.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\frac{7225}{256}-\frac{57}{4}\times 250}}{2\times \frac{57}{16}}$$

Egin -\frac{57}{4} bider 250.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\frac{7225}{256}-\frac{7125}{2}}}{2\times \frac{57}{16}}$$

Gehitu \frac{7225}{256} eta -\frac{7125}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{-\frac{904775}{256}}}{2\times \frac{57}{16}}$$

Atera -\frac{904775}{256} balioaren erro karratua.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{2\times \frac{57}{16}}$$

-\frac{85}{16} zenbakiaren aurkakoa \frac{85}{16} da.

$$t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{2\times \frac{57}{16}}$$

Egin 2 bider \frac{57}{16}.

$$t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{\frac{57}{8}}$$

Orain, ebatzi t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{\frac{57}{8}} ekuazioa ± plus denean. Gehitu \frac{85}{16} eta \frac{5i\sqrt{36191}}{16}.

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{\frac{57}{8}\times 16}$$

Zatitu \frac{85+5i\sqrt{36191}}{16} balioa \frac{57}{8} frakzioarekin, \frac{85+5i\sqrt{36191}}{16} balioa \frac{57}{8} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114}$$

Orain, ebatzi t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{\frac{57}{8}} ekuazioa ± minus denean. Egin \frac{5i\sqrt{36191}}{16} ken \frac{85}{16}.

$$t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{\frac{57}{8}\times 16}$$

Zatitu \frac{85-5i\sqrt{36191}}{16} balioa \frac{57}{8} frakzioarekin, \frac{85-5i\sqrt{36191}}{16} balioa \frac{57}{8} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114} t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t=-250$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{57}{16} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$\frac{\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t}{\frac{57}{16}}=-\frac{250}{\frac{57}{16}}$$

\frac{57}{16} balioarekin zatituz gero, \frac{57}{16} balioarekiko biderketa desegiten da.

$$t^{2}+\left(-\frac{\frac{85}{16}}{\frac{57}{16}}\right)t=-\frac{250}{\frac{57}{16}}$$

Zatitu -\frac{85}{16} balioa \frac{57}{16} frakzioarekin, -\frac{85}{16} balioa \frac{57}{16} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t=-\frac{250}{\frac{57}{16}}$$

Zatitu -250 balioa \frac{57}{16} frakzioarekin, -250 balioa \frac{57}{16} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t=-\frac{4000}{57}$$

Zatitu -\frac{85}{57} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{85}{114} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{85}{114} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t+\left(-\frac{85}{114}\right)^{2}=-\frac{4000}{57}+\left(-\frac{85}{114}\right)^{2}$$

Egin -\frac{85}{114} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t+\frac{7225}{12996}=-\frac{4000}{57}+\frac{7225}{12996}$$

Gehitu -\frac{4000}{57} eta \frac{7225}{12996} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t+\frac{7225}{12996}=-\frac{904775}{12996}$$

Atera t^{2}-\frac{85}{57}t+\frac{7225}{12996} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(t-\frac{85}{114}\right)^{2}=-\frac{904775}{12996}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(t-\frac{85}{114}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{904775}{12996}}$$

Sinplifikatu.

$$t-\frac{85}{114}=\frac{5\sqrt{36191}i}{114} t-\frac{85}{114}=-\frac{5\sqrt{36191}i}{114}$$

Gehitu \frac{85}{114} ekuazioaren bi aldeetan.

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114} t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}$$