Resolver 5/x-3-x-1/x-2=7

$$\frac { 5 } { x - 3 } - \frac { x - 1 } { x - 2 } = 7$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{11} + 11}{4} \approx 3.579156198$$

$$x = \frac{11 - \sqrt{11}}{4} \approx 1.920843802$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta 2,3 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-3\right)\left(x-2\right) balioarekin (x-3,x-2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-2 eta 5 biderkatzeko.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-3 eta x-1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

x^{2}-4x+3 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

9x lortzeko, konbinatu 5x eta 4x.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

-13 lortzeko, -10 balioari kendu 3.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 7 eta x-3 biderkatzeko.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 7x-21 eta x-2 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Kendu 7x^{2} bi aldeetatik.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

-8x^{2} lortzeko, konbinatu -x^{2} eta -7x^{2}.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Gehitu 35x bi aldeetan.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

44x lortzeko, konbinatu 9x eta 35x.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Kendu 42 bi aldeetatik.

$$44x-13-8x^{2}-42=0$$

-55 lortzeko, -13 balioari kendu 42.

$$44x-55-8x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-8x^{2}+44x-55=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -8 balioa a balioarekin, 44 balioa b balioarekin, eta -55 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-44±\sqrt{44^{2}-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Egin 44 ber bi.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Egin -4 bider -8.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936+32\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Egin 32 bider -55.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-1760}}{2\left(-8\right)}$$

Gehitu 1936 eta -1760.

$$x=\frac{-44±\sqrt{176}}{2\left(-8\right)}$$

Atera 176 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{2\left(-8\right)}$$

Egin 2 bider -8.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -44 eta 4\sqrt{11}.

$$x=\frac{4\sqrt{11}-44}{-16}$$

Zatitu -44+4\sqrt{11} balioa -16 balioarekin.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16} ekuazioa ± minus denean. Egin 4\sqrt{11} ken -44.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}-44}{-16}$$

Zatitu -44-4\sqrt{11} balioa -16 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4} x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta 2,3 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-3\right)\left(x-2\right) balioarekin (x-3,x-2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-2 eta 5 biderkatzeko.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-3 eta x-1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

x^{2}-4x+3 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

9x lortzeko, konbinatu 5x eta 4x.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

-13 lortzeko, -10 balioari kendu 3.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 7 eta x-3 biderkatzeko.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 7x-21 eta x-2 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Kendu 7x^{2} bi aldeetatik.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

-8x^{2} lortzeko, konbinatu -x^{2} eta -7x^{2}.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Gehitu 35x bi aldeetan.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

44x lortzeko, konbinatu 9x eta 35x.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Gehitu 13 bi aldeetan.

$$44x-8x^{2}=42+13$$

55 lortzeko, gehitu 42 eta 13.

$$44x-8x^{2}=55$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-8x^{2}+44x=55$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$\frac{-8x^{2}+44x}{-8}=\frac{55}{-8}$$

-8 balioarekin zatituz gero, -8 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{44}{-8}x=\frac{55}{-8}$$

Murriztu \frac{44}{-8} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{55}{-8}$$

Zatitu 55 balioa -8 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{55}{8}$$

Zatitu -\frac{11}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{11}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{11}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{55}{8}+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{11}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{55}{8}+\frac{121}{16}$$

Gehitu -\frac{55}{8} eta \frac{121}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{11}{16}$$

Atera x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{11}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{11}}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{11}}{4}$$

Gehitu \frac{11}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4} x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$