Resolver 4/x+4/x-6=1

$$\frac { 4 } { x } + \frac { 4 } { x - 6 } = 1$$

Ebatzi: x

$$x=2$$

$$x=12$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

x aldagaia eta 0,6 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak x\left(x-6\right) balioarekin (x,x-6 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-6 eta 4 biderkatzeko.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

8x lortzeko, konbinatu 4x eta x\times 4.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x eta x-6 biderkatzeko.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Gehitu 6x bi aldeetan.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

14x lortzeko, konbinatu 8x eta 6x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -x^{2}+ax+bx-24 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=14 ab=-\left(-24\right)=24$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 24 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

14 batura duen parea da soluzioa.

$$a=12 b=2$$

Berridatzi -x^{2}+14x-24 honela: \left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right)$$

Deskonposatu -x lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$-x\left(x-12\right)+2\left(x-12\right)$$

Deskonposatu x-12 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-12\right)\left(-x+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-12=0 eta -x+2=0.

$$x=12 x=2$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta 0,6 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak x\left(x-6\right) balioarekin (x,x-6 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-6 eta 4 biderkatzeko.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

8x lortzeko, konbinatu 4x eta x\times 4.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x eta x-6 biderkatzeko.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Gehitu 6x bi aldeetan.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

14x lortzeko, konbinatu 8x eta 6x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -1 balioa a balioarekin, 14 balioa b balioarekin, eta -24 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 14 ber bi.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -4 bider -1.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 4 bider -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-96}}{2\left(-1\right)}$$

Gehitu 196 eta -96.

$$x=\frac{-14±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Atera 100 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-14±10}{2\left(-1\right)}$$

Egin 2 bider -1.

$$x=\frac{-14±10}{-2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-14±10}{-2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -14 eta 10.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Zatitu -4 balioa -2 balioarekin.

$$x=2$$

Orain, ebatzi x=\frac{-14±10}{-2} ekuazioa ± minus denean. Egin 10 ken -14.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Zatitu -24 balioa -2 balioarekin.

$$x=12$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=2 x=12$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta 0,6 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak x\left(x-6\right) balioarekin (x,x-6 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-6 eta 4 biderkatzeko.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

8x lortzeko, konbinatu 4x eta x\times 4.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x eta x-6 biderkatzeko.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Gehitu 6x bi aldeetan.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

14x lortzeko, konbinatu 8x eta 6x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Gehitu 24 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$14x-x^{2}=24$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-x^{2}+14x=24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$\frac{-x^{2}+14x}{-1}=\frac{24}{-1}$$

-1 balioarekin zatituz gero, -1 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{14}{-1}x=\frac{24}{-1}$$

Zatitu 14 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}-14x=\frac{24}{-1}$$

Zatitu 24 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}-14x=-24$$

Zatitu -14 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -7 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -7 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-24+\left(-7\right)^{2}$$

Egin -7 ber bi.

$$x^{2}-14x+49=-24+49$$

Gehitu -24 eta 49.

$$x^{2}-14x+49=25$$

Atera x^{2}-14x+49 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-7\right)^{2}=25$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Sinplifikatu.

$$x-7=5 x-7=-5$$

Gehitu 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=12 x=2$$