Resolver 4/x+3+3/2x-1=1

$$\frac { 4 } { x + 3 } + \frac { 3 } { 2 x - 1 } = 1$$

Ebatzi: x

$$x=-1$$

$$x=4$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -3,\frac{1}{2} balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(2x-1\right)\left(x+3\right) balioarekin (x+3,2x-1 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(2x-1\right)\times 4+\left(x+3\right)\times 3=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x-1 eta 4 biderkatzeko.

$$8x-4+\left(x+3\right)\times 3=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+3 eta 3 biderkatzeko.

$$8x-4+3x+9=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

11x lortzeko, konbinatu 8x eta 3x.

$$11x-4+9=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

5 lortzeko, gehitu -4 eta 9.

$$11x+5=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x-1 eta x+3 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$11x+5=2x^{2}+5x-3$$

Kendu 2x^{2} bi aldeetatik.

$$11x+5-2x^{2}=5x-3$$

Kendu 5x bi aldeetatik.

$$11x+5-2x^{2}-5x=-3$$

6x lortzeko, konbinatu 11x eta -5x.

$$6x+5-2x^{2}=-3$$

Gehitu 3 bi aldeetan.

$$6x+5-2x^{2}+3=0$$

8 lortzeko, gehitu 5 eta 3.

$$6x+8-2x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-2x^{2}+6x+8=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -2 balioa a balioarekin, 6 balioa b balioarekin, eta 8 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-2\right)\times 8}}{2\left(-2\right)}$$

Egin 6 ber bi.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-2\right)\times 8}}{2\left(-2\right)}$$

Egin -4 bider -2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+8\times 8}}{2\left(-2\right)}$$

Egin 8 bider 8.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+64}}{2\left(-2\right)}$$

Gehitu 36 eta 64.

$$x=\frac{-6±\sqrt{100}}{2\left(-2\right)}$$

Atera 100 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-6±10}{2\left(-2\right)}$$

Egin 2 bider -2.

$$x=\frac{-6±10}{-4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-6±10}{-4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -6 eta 10.

$$x=\frac{4}{-4}$$

Zatitu 4 balioa -4 balioarekin.

$$x=-1$$

Orain, ebatzi x=\frac{-6±10}{-4} ekuazioa ± minus denean. Egin 10 ken -6.

$$x=-\frac{16}{-4}$$

Zatitu -16 balioa -4 balioarekin.

$$x=4$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-1 x=4$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -3,\frac{1}{2} balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(2x-1\right)\left(x+3\right) balioarekin (x+3,2x-1 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(2x-1\right)\times 4+\left(x+3\right)\times 3=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x-1 eta 4 biderkatzeko.

$$8x-4+\left(x+3\right)\times 3=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+3 eta 3 biderkatzeko.

$$8x-4+3x+9=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

11x lortzeko, konbinatu 8x eta 3x.

$$11x-4+9=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

5 lortzeko, gehitu -4 eta 9.

$$11x+5=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x-1 eta x+3 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$11x+5=2x^{2}+5x-3$$

Kendu 2x^{2} bi aldeetatik.

$$11x+5-2x^{2}=5x-3$$

Kendu 5x bi aldeetatik.

$$11x+5-2x^{2}-5x=-3$$

6x lortzeko, konbinatu 11x eta -5x.

$$6x+5-2x^{2}=-3$$

Kendu 5 bi aldeetatik.

$$6x-2x^{2}=-3-5$$

-8 lortzeko, -3 balioari kendu 5.

$$6x-2x^{2}=-8$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-2x^{2}+6x=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$\frac{-2x^{2}+6x}{-2}=-\frac{8}{-2}$$

-2 balioarekin zatituz gero, -2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{6}{-2}x=-\frac{8}{-2}$$

Zatitu 6 balioa -2 balioarekin.

$$x^{2}-3x=-\frac{8}{-2}$$

Zatitu -8 balioa -2 balioarekin.

$$x^{2}-3x=4$$

Zatitu -3 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Gehitu 4 eta \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Atera x^{2}-3x+\frac{9}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Gehitu \frac{3}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=4 x=-1$$