Resolver 30/x^2+5x+6-x/x+2=2x+1/x+3

$$\frac { 30 } { x ^ { 2 } + 5 x + 6 } - \frac { x } { x + 2 } = \frac { 2 x + 1 } { x + 3 }$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{14}{3} = -4\frac{2}{3} \approx -4.666666667$$

$$x=2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

x aldagaia eta -3,-2 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x+2\right)\left(x+3\right) balioarekin (x^{2}+5x+6,x+2,x+3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+3 eta x biderkatzeko.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

x^{2}+3x funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+2 eta 2x+1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Kendu 2x^{2} bi aldeetatik.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

-3x^{2} lortzeko, konbinatu -x^{2} eta -2x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Kendu 5x bi aldeetatik.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

-8x lortzeko, konbinatu -3x eta -5x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Kendu 2 bi aldeetatik.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

28 lortzeko, 30 balioari kendu 2.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -3x^{2}+ax+bx+28 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-8 ab=-3\times 28=-84$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -84 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

-8 batura duen parea da soluzioa.

$$a=6 b=-14$$

Berridatzi -3x^{2}-8x+28 honela: \left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right).

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta 14 bigarren taldean.

$$3x\left(-x+2\right)+14\left(-x+2\right)$$

Deskonposatu -x+2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(-x+2\right)\left(3x+14\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi -x+2=0 eta 3x+14=0.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -3,-2 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x+2\right)\left(x+3\right) balioarekin (x^{2}+5x+6,x+2,x+3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+3 eta x biderkatzeko.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

x^{2}+3x funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+2 eta 2x+1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Kendu 2x^{2} bi aldeetatik.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

-3x^{2} lortzeko, konbinatu -x^{2} eta -2x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Kendu 5x bi aldeetatik.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

-8x lortzeko, konbinatu -3x eta -5x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Kendu 2 bi aldeetatik.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

28 lortzeko, 30 balioari kendu 2.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -3 balioa a balioarekin, -8 balioa b balioarekin, eta 28 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Egin -8 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Egin -4 bider -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Egin 12 bider 28.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+336}}{2\left(-3\right)}$$

Gehitu 64 eta 336.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{400}}{2\left(-3\right)}$$

Atera 400 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±20}{2\left(-3\right)}$$

-8 zenbakiaren aurkakoa 8 da.

$$x=\frac{8±20}{2\left(-3\right)}$$

Egin 2 bider -3.

$$x=\frac{8±20}{-6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{8±20}{-6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 8 eta 20.

$$x=\frac{28}{-6}$$

Murriztu \frac{28}{-6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{14}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{8±20}{-6} ekuazioa ± minus denean. Egin 20 ken 8.

$$x=-\frac{12}{-6}$$

Zatitu -12 balioa -6 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-\frac{14}{3} x=2$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -3,-2 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x+2\right)\left(x+3\right) balioarekin (x^{2}+5x+6,x+2,x+3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+3 eta x biderkatzeko.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

x^{2}+3x funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x+2 eta 2x+1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Kendu 2x^{2} bi aldeetatik.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

-3x^{2} lortzeko, konbinatu -x^{2} eta -2x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Kendu 5x bi aldeetatik.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

-8x lortzeko, konbinatu -3x eta -5x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Kendu 30 bi aldeetatik.

$$-3x^{2}-8x=2-30$$

-28 lortzeko, 2 balioari kendu 30.

$$-3x^{2}-8x=-28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$\frac{-3x^{2}-8x}{-3}=-\frac{28}{-3}$$

-3 balioarekin zatituz gero, -3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-3}\right)x=-\frac{28}{-3}$$

Zatitu -8 balioa -3 balioarekin.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{28}{-3}$$

Zatitu -28 balioa -3 balioarekin.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{28}{3}$$

Zatitu \frac{8}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{4}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{4}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{28}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Egin \frac{4}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{28}{3}+\frac{16}{9}$$

Gehitu \frac{28}{3} eta \frac{16}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{100}{9}$$

Atera x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{10}{3}$$

Egin ken \frac{4}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$